Exercício 8. Calcule as integrais
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(5 \operatorname{sen} x-2 \cos x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida de
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\bigl(5\sin x - 2\cos x\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é cálculo de antiderivadas (primitivas) de funções trigonométricas básicas e aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Encontramos uma primitiva F do integrando f(x)=5\sin x - 2\cos x. Sabemos que \displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x
e \displaystyle\int \cos x\,dx = \sin x.
Logo,
F(x) =5\int \sin x\,dx \;-\;2\int \cos x\,dx =-5\cos x \;-\;2\sin x.

Passo 3

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\bigl(5\sin x - 2\cos x\bigr)\,dx =F\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)-F(0).
Calculando,
F\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) =-5\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)-2\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) =-5\cdot0-2\cdot1=-2,
F(0) =-5\cos(0)-2\sin(0) =-5\cdot1-2\cdot0=-5.
Portanto,
F\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)-F(0) =-2-(-5)=3.

Resposta

3

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