Exercício 7. Calcule as derivadas das funções abaixo:
h(x)=\int_{1}^{x^{3}} \sqrt{t^{2}+1} d t

Passo 1

O enunciado define
h(x)=\int_{1}^{x^{3}}\sqrt{t^{2}+1}\,dt
e pede h'(x). O conteúdo a usar é o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) combinado com a Regra da Cadeia, pois o limite superior é a função x^{3}.

Passo 2

Definimos uma função auxiliar
F(u)=\int_{1}^{u}\sqrt{t^{2}+1}\,dt.
Pelo TFC, sabemos que
F'(u)=\sqrt{u^{2}+1}.

Passo 3

Reescrevemos h em termos de F:
h(x)=F\bigl(x^{3}\bigr).
Agora aplicamos a Regra da Cadeia para derivar h(x).

Passo 4

Pela Regra da Cadeia:
h'(x) =F'\bigl(x^{3}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr) =\sqrt{\bigl(x^{3}\bigr)^{2}+1}\,\cdot 3x^{2} =3x^{2}\sqrt{x^{6}+1}.

Resposta

h'(x)=3x^{2}\sqrt{x^{6}+1}.

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