Exercício 1: Calcule o limite das sequências que são convergentes:
y_{n}=\frac{(\ln (n))^{2}}{n}. (L’Hospital.)

Passo 1

O enunciado dá a sequência \,y_{n}=\frac{(\ln(n))^{2}}{n}\, e pede para calcular o limite quando n\to\infty.
Informações relevantes:
\,y_n é definida para todo n\in\mathbb{N} suficientemente grande (pois \ln(n) existe para n>0); precisamos achar \lim_{n\to\infty} y_n.

Passo 2

Estratégia prática (sem resolver ainda): é comum transformar o problema de limite de sequência em limite de função contínua. Definimos a função
f(x)=\frac{(\ln x)^{2}}{x},\quad x>0,
e calculamos \lim_{x\to\infty} f(x). Se esse limite existir e for igual a L, então a sequência y_n=f(n) também converge para L. Isso vale porque a sequência é apenas a amostragem da função nos inteiros e se a função tende a L quando x\to\infty, a amostragem também tende a L.

Passo 3

Verificamos a forma indeterminada para \lim_{x\to\infty} f(x). Quando x\to\infty temos \ln x\to\infty, logo (\ln x)^2\to\infty, e x\to\infty. Assim
\lim_{x\to\infty}\frac{(\ln x)^{2}}{x}
é do tipo \frac{\infty}{\infty}, então podemos aplicar a regra de L’Hospital (desde que as hipóteses da regra sejam satisfeitas, o que ocorre aqui: numerador e denominador são diferenciáveis para x>0 e denominador tem derivada não nula).

Passo 4

Recordando a regra de L’Hospital (versão para \infty/\infty): se \lim_{x\to\infty} g(x)=\lim_{x\to\infty} h(x)=\infty e g,h são diferenciáveis para x grande, e se \lim_{x\to\infty} \frac{g'(x)}{h'(x)} existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to\infty}\frac{g(x)}{h(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{g'(x)}{h'(x)}.
Aqui tomamos g(x)=(\ln x)^2 e h(x)=x.

Passo 5

Aplicando L’Hospital uma vez calculamos as derivadas. Derivada do numerador: usamos a regra da cadeia para g(x)=(\ln x)^2. Se u(x)=\ln x então g(x)=u(x)^2 e
g'(x)=2u(x)\,u'(x)=2\ln x\cdot\frac{1}{x}=\frac{2\ln x}{x}.
Derivada do denominador é
h'(x)=\frac{d}{dx}x=1.
Pelo L’Hospital,
\lim_{x\to\infty}\frac{(\ln x)^{2}}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{2\ln x}{x}.

Passo 6

O limite à direita ainda é da forma \frac{\infty}{\infty} (já que \ln x\to\infty e x\to\infty), então aplicamos L’Hospital novamente. Tomamos agora g_1(x)=2\ln x e h_1(x)=x. As derivadas são
g_1'(x)=2\cdot\frac{1}{x}=\frac{2}{x}, \qquad h_1'(x)=1.
Pelo L’Hospital novamente,
\lim_{x\to\infty}\frac{2\ln x}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{2/x}{1}=\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x}.

Passo 7

Calculamos a última expressão: quando x\to\infty temos \frac{2}{x}\to 0. Logo
\lim_{x\to\infty}\frac{(\ln x)^{2}}{x}=0.

Passo 8

Voltando à sequência: como \lim_{x\to\infty} f(x)=0, segue que \lim_{n\to\infty} y_n = \lim_{n\to\infty} f(n)=0. Intuição rápida: \ln n cresce muito mais devagar que n^{1/2}, n etc., então (\ln n)^2 é insignificante frente a n quando n é grande.

Resposta

0

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