Exercício 1: Calcule o limite das sequências que são convergentes:
. (L’Hospital.)
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para calcular o limite quando
.
Informações relevantes:
é definida para todo
suficientemente grande (pois
existe para
); precisamos achar
.
Informações relevantes:
Passo 2
Estratégia prática (sem resolver ainda): é comum transformar o problema de limite de sequência em limite de função contínua. Definimos a função
e calculamos
. Se esse limite existir e for igual a
, então a sequência
também converge para
. Isso vale porque a sequência é apenas a amostragem da função nos inteiros e se a função tende a
quando
, a amostragem também tende a
.
Passo 3
Verificamos a forma indeterminada para
. Quando
temos
, logo
, e
. Assim
é do tipo
, então podemos aplicar a regra de L’Hospital (desde que as hipóteses da regra sejam satisfeitas, o que ocorre aqui: numerador e denominador são diferenciáveis para
e denominador tem derivada não nula).
Passo 4
Recordando a regra de L’Hospital (versão para
): se
e
são diferenciáveis para
grande, e se
existe (ou é
), então
Aqui tomamos
e
.
Passo 5
Aplicando L’Hospital uma vez calculamos as derivadas. Derivada do numerador: usamos a regra da cadeia para
. Se
então
e
Derivada do denominador é
Pelo L’Hospital,
Passo 6
O limite à direita ainda é da forma
(já que
e
), então aplicamos L’Hospital novamente. Tomamos agora
e
. As derivadas são
Pelo L’Hospital novamente,
Passo 7
Calculamos a última expressão: quando
temos
. Logo
Passo 8
Voltando à sequência: como
, segue que
. Intuição rápida:
cresce muito mais devagar que
,
etc., então
é insignificante frente a
quando
é grande.