Exercício 2. Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 2}\left(3 x^{2}-5 x+1\right)

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o seguinte limite:
\lim_{x\rightarrow 2}\left(3x^{2}-5x+1\right).
Informações dadas:
  • A função dentro do limite é 3x^{2}-5x+1.
  • O ponto para o qual x tende é x=2.
    A pergunta é: qual é o valor numérico do limite quando x se aproxima de 2?

Passo 2

Conceito e ferramentas que vamos usar (explicado com calma).
  • Para limites, vale a propriedade de linearidade: a \lim do somatório é a soma dos \lims, e constantes fatoram para fora do limite. Em fórmula:
\lim_{x\to a}\big(f(x)+g(x)\big)=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x),
\lim_{x\to a}c\cdot f(x)=c\cdot\lim_{x\to a}f(x),
onde c é constante.
  • A função polinomial é contínua em todo ponto real. Isso significa que, para um polinômio p(x),
\lim_{x\to a}p(x)=p(a).
Em palavras: para polinômios podemos simplesmente substituir x=a para obter o limite.

Passo 3

Aplicando as propriedades ao nosso caso:
\lim_{x\rightarrow 2}\left(3x^{2}-5x+1\right) =3\lim_{x\rightarrow 2}x^{2}-5\lim_{x\rightarrow 2}x+\lim_{x\rightarrow 2}1.
Explicando cada termo:
  • \lim_{x\to 2}x=2, pois x tende a 2.
  • Então \lim_{x\to 2}x^{2}=(\lim_{x\to 2}x)^{2}=2^{2}=4.
  • \lim_{x\to 2}1=1 porque uma constante tem sempre limite igual à própria constante.

Passo 4

Substituindo os limites calculados:
3\lim_{x\rightarrow 2}x^{2}-5\lim_{x\rightarrow 2}x+\lim_{x\rightarrow 2}1 =3\cdot 4 - 5\cdot 2 + 1.
Agora faça as contas passo a passo:
3\cdot 4 = 12,
5\cdot 2 = 10,
12 - 10 = 2,
2 + 1 = 3.

Passo 5

Portanto, o valor do limite é 3. Bom trabalho — polinômios são amigos dos limites: basta substituir o ponto!

Resposta

3

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