Seja \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma curva diferenciável tal que \|\alpha(t)\|=c, onde c é uma constante. Mostre que \left\langle\alpha(t), \alpha^{\prime}(t)\right\rangle=0, isto é, \alpha(t) é ortogonal a \alpha^{\prime}(t) para todo t \in I. Interprete o resultado geometricamente.

Passo 1

O enunciado dá uma curva diferenciável \alpha: I \to \mathbb{R}^3 e a informação de que a norma de \alpha(t) é constante: \|\alpha(t)\| = c para todo t\in I, onde c é uma constante (note que c\ge 0).
O que se pede:
  • Mostrar que \left\langle \alpha(t),\alpha'(t)\right\rangle = 0 para todo t\in I.
  • Interpretar geometricamente esse resultado.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • \alpha é diferenciável, então \alpha'(t) existe para todo t\in I.
  • \|\alpha(t)\|=c para todo t\in I, isto é, o comprimento do vetor posição é fixo.

Passo 2

Uma ideia simples e direta é trabalhar com o quadrado da norma, porque \|\alpha(t)\|^2 é mais fácil de derivar que \|\alpha(t)\|. Defina a função escalar
f(t)=\|\alpha(t)\|^2.
Como \|\alpha(t)\|=c para todo t, temos
f(t)=\|\alpha(t)\|^2 = c^2
para todo t\in I. Ou seja, f(t) é uma função constante de t.

Passo 3

Como f(t)=c^2 é constante, sua derivada é zero para todo t:
f'(t)=0.
Agora vamos calcular f'(t) em termos de \alpha e \alpha'.

Passo 4

Usando a definição da norma e propriedades da soma de quadrados, escrevemos
f(t)=\|\alpha(t)\|^2 = \left\langle \alpha(t),\alpha(t)\right\rangle.
Para derivar essa expressão podemos usar a regra do produto para o produto interno (ou simplesmente derivar coordenada a coordenada). A regra do produto para o produto interno diz que, se u(t) e v(t) são vetores diferenciáveis, então
\frac{d}{dt}\left\langle u(t),v(t)\right\rangle = \left\langle u'(t),v(t)\right\rangle + \left\langle u(t),v'(t)\right\rangle.
Aplicando com u(t)=v(t)=\alpha(t) obtemos
f'(t)=\frac{d}{dt}\left\langle \alpha(t),\alpha(t)\right\rangle = \left\langle \alpha'(t),\alpha(t)\right\rangle + \left\langle \alpha(t),\alpha'(t)\right\rangle.

Passo 5

Como o produto interno é simétrico, \left\langle \alpha'(t),\alpha(t)\right\rangle = \left\langle \alpha(t),\alpha'(t)\right\rangle. Portanto
f'(t)=2\left\langle \alpha(t),\alpha'(t)\right\rangle.
Mas no Passo 3 vimos que f'(t)=0. Logo
2\left\langle \alpha(t),\alpha'(t)\right\rangle = 0.
Dividindo por 2 (número não nulo) segue
\left\langle \alpha(t),\alpha'(t)\right\rangle = 0
para todo t\in I, que é exatamente o que se queria provar.
Observação sobre o caso c=0: se c=0 então \|\alpha(t)\|=0 para todo t, o que implica \alpha(t)=0 (vetor nulo) para todo t, e então \alpha'(t)=0. Nesse caso a igualdade \left\langle \alpha(t),\alpha'(t)\right\rangle=0 também é verdadeira (produto interno com o vetor nulo é 0).

Passo 6

Explicação didática do porquê da regra usada: se \alpha(t)=(\alpha_1(t),\alpha_2(t),\alpha_3(t)), então
\|\alpha(t)\|^2=\alpha_1(t)^2+\alpha_2(t)^2+\alpha_3(t)^2.
Derivando termo a termo
\frac{d}{dt}\|\alpha(t)\|^2 = 2\alpha_1(t)\alpha_1'(t)+2\alpha_2(t)\alpha_2'(t)+2\alpha_3(t)\alpha_3'(t) =2\left\langle \alpha(t),\alpha'(t)\right\rangle,
o que confirma o cálculo anterior de forma elementar. Esta é uma alternativa mais concreta se preferir ver tudo em componentes.

Passo 7

Interpretação geométrica (com linguagem bem amiga): a condição \|\alpha(t)\|=c diz que o ponto \alpha(t) está sempre à mesma distância c da origem. Ou seja, a curva fica inteirinha sobre a esfera de raio c centrada na origem. O vetor \alpha(t) é o vetor radial que vai da origem até o ponto \alpha(t). O vetor \alpha'(t) é o vetor tangente à curva naquele ponto, que aponta a direção em que a curva está passando naquele instante. A igualdade
\left\langle \alpha(t),\alpha'(t)\right\rangle = 0
diz que o vetor radial e o vetor tangente são ortogonais: o movimento da curva no ponto é sempre tangencial à esfera, não tem componente radial (não “afasta” nem “aproxima” do centro). Em palavras simples: se a posição tem comprimento fixo, qualquer deslocamento instantâneo é perpendicular ao raio — é como caminhar ao redor da circunferência de uma bola: o passo é tangent e não te leva para dentro nem para fora da bola.

Passo 8

Um exemplo concreto para ganhar intuição: tome \alpha(t)=(\cos t,\sin t,0). Aqui \|\alpha(t)\|=1 para todo t. Calculando \alpha'(t)=(-\sin t,\cos t,0) e
\left\langle \alpha(t),\alpha'(t)\right\rangle = \cos t(-\sin t)+\sin t(\cos t)+0=0.
Funciona direitinho e mostra geometricamente que a velocidade é tangente ao círculo unitário.

Resposta

\left\langle \alpha(t),\alpha'(t)\right\rangle=0 para todo t\in I.
Geometricamente: a curva está contida na esfera de raio c centrada na origem, e o vetor tangente \alpha'(t) é ortogonal ao vetor radial \alpha(t) em cada ponto.

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