Seja
uma curva diferenciável tal que
, onde
é uma constante. Mostre que
, isto é,
é ortogonal a
para todo
. Interprete o resultado geometricamente.
Passo 1
O enunciado dá uma curva diferenciável
e a informação de que a norma de
é constante:
para todo
, onde
é uma constante (note que
).
O que se pede:
O que se pede:
- Mostrar que
para todo . - Interpretar geometricamente esse resultado.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
-
é diferenciável, então existe para todo . -
para todo , isto é, o comprimento do vetor posição é fixo.
Passo 2
Uma ideia simples e direta é trabalhar com o quadrado da norma, porque
é mais fácil de derivar que
. Defina a função escalar
Como
para todo
, temos
para todo
. Ou seja,
é uma função constante de
.
Passo 3
Como
é constante, sua derivada é zero para todo
:
Agora vamos calcular
em termos de
e
.
Passo 4
Usando a definição da norma e propriedades da soma de quadrados, escrevemos
Para derivar essa expressão podemos usar a regra do produto para o produto interno (ou simplesmente derivar coordenada a coordenada). A regra do produto para o produto interno diz que, se
e
são vetores diferenciáveis, então
Aplicando com
obtemos
Passo 5
Como o produto interno é simétrico,
. Portanto
Mas no Passo 3 vimos que
. Logo
Dividindo por
(número não nulo) segue
para todo
, que é exatamente o que se queria provar.
Observação sobre o caso
: se
então
para todo
, o que implica
(vetor nulo) para todo
, e então
. Nesse caso a igualdade
também é verdadeira (produto interno com o vetor nulo é
).
Passo 6
Explicação didática do porquê da regra usada: se
, então
Derivando termo a termo
o que confirma o cálculo anterior de forma elementar. Esta é uma alternativa mais concreta se preferir ver tudo em componentes.
Passo 7
Interpretação geométrica (com linguagem bem amiga): a condição
diz que o ponto
está sempre à mesma distância
da origem. Ou seja, a curva fica inteirinha sobre a esfera de raio
centrada na origem. O vetor
é o vetor radial que vai da origem até o ponto
. O vetor
é o vetor tangente à curva naquele ponto, que aponta a direção em que a curva está passando naquele instante. A igualdade
diz que o vetor radial e o vetor tangente são ortogonais: o movimento da curva no ponto é sempre tangencial à esfera, não tem componente radial (não “afasta” nem “aproxima” do centro). Em palavras simples: se a posição tem comprimento fixo, qualquer deslocamento instantâneo é perpendicular ao raio — é como caminhar ao redor da circunferência de uma bola: o passo é tangent e não te leva para dentro nem para fora da bola.
Passo 8
Um exemplo concreto para ganhar intuição: tome
. Aqui
para todo
. Calculando
e
Funciona direitinho e mostra geometricamente que a velocidade é tangente ao círculo unitário.
Resposta
Geometricamente: a curva está contida na esfera de raio