Exercício 2. Calcule os parâmetros distribuidos a 1 MHz para um cabo com condutor gêmeo, formado por condutores de cobre AWG 26 com os centros separados, no ar, por 1,0 \mathrm{~cm}. Também determine a impedância característica e a velocidade de propagação para essa linha de transmissão. Qual separação é exigida entre esses fios para obtermos uma impedância de 75 \Omega ?

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule, para uma linha formada por dois fios de cobre AWG 26, com centros separados por 1{,}0\\ \text{cm} no ar, os parâmetros distribuídos por unidade de comprimento à frequência de 1\\ \text{MHz}: resistência por unidade de comprimento R', indutância por unidade de comprimento L', condutância por unidade de comprimento G' e capacitância por unidade de comprimento C'. Também pede a impedância característica Z_0 e a velocidade de propagação v dessa linha, e por fim a separação entre centros necessária para obter Z_0=75\\ \Omega.
Dados e constantes que vou usar (peguei o diâmetro AWG 26 de tabelas padrão):
  • diâmetro do fio AWG 26: 0{,}405\\ \text{mm}. Logo o raio do condutor é a = 0{,}2025\\ \text{mm} = 2{,}025\times10^{-4}\\ \text{m}.
  • separação entre centros fornecida: D=1{,}0\\ \text{cm}=0{,}01\\ \text{m}.
  • frequência: f=1{,}0\\ \text{MHz}, então \omega=2\pi f.
  • resistividade do cobre (a 20^\circC): \rho=1{,}724\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\text{m}.
  • permissividade e permeabilidade do vácuo (ar \approx vácuo): \varepsilon_0 = 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \text{F/m},\qquad \mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\\ \text{H/m}.
  • velocidade da luz c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}\approx 2{,}998\times10^{8}\\ \text{m/s}.
    O que eu vou calcular passo a passo: R' (em \Omega/\text{m}), L' (H/m), G' (S/m), C' (F/m), Z_0 (Ω), v (m/s), e a separação D necessária para Z_0=75\\ \Omega.

Passo 2

Primeiro calculo a resistência DC por comprimento de um fio (apenas para referência). Área da secção transversal de um fio:
A=\pi a^2=\pi\,(2{,}025\times10^{-4})^2 \\ \text{m}^2.
Calculo numérico:
A\approx 1{,}287\times10^{-7}\\ \text{m}^2.
Resistência DC por comprimento de um fio:
R_{\text{DC,1}}=\frac{\rho}{A}=\frac{1{,}724\times10^{-8}}{1{,}287\times10^{-7}}\\ \Omega/\text{m}\approx 0{,}13395\\ \Omega/\text{m}.
Como a linha tem dois fios em série para a corrente diferencial, a resistência DC total por comprimento seria 2R_{\text{DC,1}}\approx 0{,}2679\\ \Omega/\text{m}. Isso é só referência; a seguir eu trato o efeito de pele (frequência).

Passo 3

Calculo a profundidade de penetração (skin depth) \delta no cobre a f=1\\ \text{MHz}. Fórmula:
\delta=\sqrt{\frac{2\rho}{\omega\mu_0}},\qquad \omega=2\pi f.
Substituindo:
\omega=2\pi(1\times10^{6})=6{,}283185\times10^{6}\\ \text{rad/s}.
\delta=\sqrt{\frac{2(1{,}724\times10^{-8})}{6{,}283185\times10^{6}\cdot 4\pi\times10^{-7}}} \approx 6{,}612\times10^{-5}\\ \text{m}=66{,}12\\ \mu\text{m}.
Comentário didático: \delta é a profundidade onde a corrente decai por 1/e. Como a=202{,}5\\ \mu\text{m} e \delta\approx66{,}1\\ \mu\text{m}, temos \delta menor que a, isto é, já há concentração de corrente na superfície (efeito de pele) e devemos usar a resistência AC apropriada.

Passo 4

Para alta frequência (quando \delta é menor que o raio), a resistência por unidade de comprimento de um fio sólido é aproximada por
R_{\text{AC,1}}\approx \frac{1}{2\pi a \sigma \delta},
onde \sigma=1/\rho é a condutividade do cobre. Explico a fórmula: a resistência de superfície por unidade de área é R_s=1/(\sigma\delta); a corrente ocupa a região superficial de espessura \delta ao longo da circunferência 2\pi a, daí a expressão acima.
Calculo numérico:
\sigma=\frac{1}{\rho}\approx 5{,}7988\times10^{7}\\ \text{S/m}.
R_{\text{AC,1}}=\frac{1}{2\pi (2{,}025\times10^{-4})(5{,}7988\times10^{7})(6{,}612\times10^{-5})} \approx 0{,}2048\\ \Omega/\text{m}.
Como há dois condutores em série para a corrente diferencial, a resistência por unidade de comprimento da linha é
R' = 2R_{\text{AC,1}}\approx 0{,}4096\\ \Omega/\text{m}.

Passo 5

Agora calculo a indutância por unidade de comprimento L' da linha de dois fios paralelos no ar. Para fios de raio a com separação de centros D, a fórmula (campo externo) é
L'=\frac{\mu_0}{\pi}\operatorname{arccosh}\!\left(\frac{D}{2a}\right).
Explicação: essa fórmula vem do cálculo da energia magnética do campo externo entre condutores; \operatorname{arccosh}(x)=\ln\!\big(x+\sqrt{x^2-1}\big).
Calculo numérico:
\frac{D}{2a}=\frac{0{,}01}{2(2{,}025\times10^{-4})}\approx 24{,}6914,
\operatorname{arccosh}(24{,}6914)\approx 3{,}8979.
Como \mu_0/\pi = 4\times10^{-7}\\ \text{H/m},
L' = 4\times10^{-7}\times 3{,}8979 \approx 1{,}5592\times10^{-6}\\ \text{H/m}.
Observação didática: a indutância contém também uma parcela interna associada ao campo dentro do condutor; em alta frequência essa parcela (indutância interna) é muito pequena devido ao efeito de pele e foi desprezada na fórmula externa (já compatível com a aproximação usada para R').

Passo 6

Capacitância por unidade de comprimento C' para dois fios paralelos no ar tem a fórmula complementar
C'=\frac{\pi\varepsilon_0}{\operatorname{arccosh}\!\left(\dfrac{D}{2a}\right)}.
Isto é consequência da simetria do problema e do fato de L'C'=\mu_0\varepsilon_0 para uma linha TEM no vácuo/ ar.
Calculo:
C'=\frac{\pi(8{,}8541878\times10^{-12})}{3{,}8979}\approx 7{,}1346\times10^{-12}\\ \text{F/m}=7{,}135\\ \text{pF/m}.

Passo 7

Condutância por unidade de comprimento G' (perda do dielétrico) no ar é desprezível porque o ar tem praticamente perda zero ( \tan\delta\approx0). Portanto,
G'\approx 0\\ \text{S/m}.
Comentário: mais formalmente seria G'=\omega C'\tan\delta com \tan\delta do ar praticamente nulo.

Passo 8

Agora calculo a impedância característica. A definição geral é
Z_0=\sqrt{\frac{R'+j\omega L'}{G'+j\omega C'}}.
Para linhas de baixa perda (quando R'\ll\omega L' e G'\ll\omega C') podemos aproximar por
Z_0\approx\sqrt{\frac{L'}{C'}}.
Verifico a condição de baixa perda:
\omega L' = 2\pi(1\times10^{6})\times 1{,}5592\times10^{-6}\approx 9{,}795\\ \Omega/\text{m},
enquanto R'\approx 0{,}4096\\ \Omega/\text{m}. Como R' é bem menor que \omega L' (aprox. 4{,}2\%), a aproximação de baixa perda é válida.
Calculo Z_0 pela forma lossless:
Z_0\approx\sqrt{\frac{L'}{C'}}=\frac{\operatorname{arccosh}\!\left(\dfrac{D}{2a}\right)}{\pi}\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} =\frac{\operatorname{arccosh}\!\left(\dfrac{D}{2a}\right)}{\pi}\eta_0,
onde \eta_0=\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}\approx 376{,}73\\ \Omega é a impedância do vácuo. Substituindo:
Z_0\approx\frac{3{,}8979}{\pi}\times 376{,}73 \approx 467{,}5\\ \Omega\approx 468\\ \Omega.
Para referência, se desejasse calcular Z_0 com a expressão complexa daria praticamente o mesmo número real (pequeno componente imag devido às perdas).

Passo 9

Velocidade de propagação v da linha TEM no ar é
v=\frac{1}{\sqrt{L'C'}}=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}=c\approx 2{,}998\times10^{8}\\ \text{m/s}.
Comentário didático: como a linha está no ar (permitividade próxima da do vácuo), a onda viaja praticamente à velocidade da luz no vácuo.

Passo 10

Agora encontro a separação D necessária para que Z_0=75\\ \Omega. Da fórmula lossless
Z_0=\frac{\operatorname{arccosh}\!\left(\dfrac{D}{2a}\right)}{\pi}\eta_0
isolando o \operatorname{arccosh},
\operatorname{arccosh}\!\left(\frac{D}{2a}\right)=\frac{\pi Z_0}{\eta_0}.
Logo
\frac{D}{2a}=\operatorname{cosh}\!\left(\frac{\pi Z_0}{\eta_0}\right), \qquad D=2a\operatorname{cosh}\!\left(\frac{\pi Z_0}{\eta_0}\right).
Substituindo Z_0=75\\ \Omega e \eta_0\approx 376{,}73\\ \Omega,
\frac{\pi Z_0}{\eta_0}\approx 0{,}6257,\qquad \operatorname{cosh}(0{,}6257)\approx 1{,}2023,
D\approx 2(2{,}025\times10^{-4})\times 1{,}2023 \approx 4{,}8729\times10^{-4}\\ \text{m}=0{,}487\\ \text{mm}.
Interpretação prática: para esta bitola de fio (AWG 26) seria necessário que os centros ficassem à apenas cerca de 0{,}487\\ \text{mm} um do outro — muito próximos, quase encostando — para obter 75\\ \Omega. Isso mostra que pares de fios paralelos em ar tendem a ter impedâncias muito altas a menos que estejam quase em contato; é por isso que geometrias coaxiais são usadas para conseguir 50\\ \Omega ou 75\\ \Omega com fiações de diâmetros práticos.

Resposta

R'\approx 0{,}4096\\ \Omega/\text{m}
L'\approx 1{,}559\times10^{-6}\\ \text{H/m}
G'\approx 0\\ \text{S/m}
C'\approx 7{,}135\times10^{-12}\\ \text{F/m}
Z_0\approx 4{,}68\times10^{2}\\ \Omega
v\approx 2{,}998\times10^{8}\\ \text{m/s}
Separação para Z_0=75\\ \Omega: D\approx 4{,}87\times10^{-4}\\ \text{m}=0{,}487\\ \text{mm}

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