Exercício 2. Calcule os parâmetros distribuidos a 1 MHz para um cabo com condutor gêmeo, formado por condutores de cobre AWG 26 com os centros separados, no ar, por
. Também determine a impedância característica e a velocidade de propagação para essa linha de transmissão. Qual separação é exigida entre esses fios para obtermos uma impedância de
?
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule, para uma linha formada por dois fios de cobre AWG 26, com centros separados por
no ar, os parâmetros distribuídos por unidade de comprimento à frequência de
: resistência por unidade de comprimento
, indutância por unidade de comprimento
, condutância por unidade de comprimento
e capacitância por unidade de comprimento
. Também pede a impedância característica
e a velocidade de propagação
dessa linha, e por fim a separação entre centros necessária para obter
.
Dados e constantes que vou usar (peguei o diâmetro AWG 26 de tabelas padrão):
- diâmetro do fio AWG 26:
. Logo o raio do condutor é - separação entre centros fornecida:
. - frequência:
, então . - resistividade do cobre (a
C): . - permissividade e permeabilidade do vácuo (ar
vácuo): - velocidade da luz
.
O que eu vou calcular passo a passo:(em ), (H/m), (S/m), (F/m), (Ω), (m/s), e a separação necessária para .
Passo 2
Primeiro calculo a resistência DC por comprimento de um fio (apenas para referência). Área da secção transversal de um fio:
Calculo numérico:
Resistência DC por comprimento de um fio:
Como a linha tem dois fios em série para a corrente diferencial, a resistência DC total por comprimento seria
. Isso é só referência; a seguir eu trato o efeito de pele (frequência).
Passo 3
Calculo a profundidade de penetração (skin depth)
no cobre a
. Fórmula:
Substituindo:
Comentário didático:
é a profundidade onde a corrente decai por
. Como
e
, temos
menor que
, isto é, já há concentração de corrente na superfície (efeito de pele) e devemos usar a resistência AC apropriada.
Passo 4
Para alta frequência (quando
é menor que o raio), a resistência por unidade de comprimento de um fio sólido é aproximada por
onde
é a condutividade do cobre. Explico a fórmula: a resistência de superfície por unidade de área é
; a corrente ocupa a região superficial de espessura
ao longo da circunferência
, daí a expressão acima.
Calculo numérico:
Como há dois condutores em série para a corrente diferencial, a resistência por unidade de comprimento da linha é
Passo 5
Agora calculo a indutância por unidade de comprimento
da linha de dois fios paralelos no ar. Para fios de raio
com separação de centros
, a fórmula (campo externo) é
Explicação: essa fórmula vem do cálculo da energia magnética do campo externo entre condutores;
.
Calculo numérico:
Como
,
Observação didática: a indutância contém também uma parcela interna associada ao campo dentro do condutor; em alta frequência essa parcela (indutância interna) é muito pequena devido ao efeito de pele e foi desprezada na fórmula externa (já compatível com a aproximação usada para
).
Passo 6
Capacitância por unidade de comprimento
para dois fios paralelos no ar tem a fórmula complementar
Isto é consequência da simetria do problema e do fato de
para uma linha TEM no vácuo/ ar.
Calculo:
Passo 7
Condutância por unidade de comprimento
(perda do dielétrico) no ar é desprezível porque o ar tem praticamente perda zero (
). Portanto,
Comentário: mais formalmente seria
com
do ar praticamente nulo.
Passo 8
Agora calculo a impedância característica. A definição geral é
Para linhas de baixa perda (quando
e
) podemos aproximar por
Verifico a condição de baixa perda:
enquanto
. Como
é bem menor que
(aprox.
), a aproximação de baixa perda é válida.
Calculo
pela forma lossless:
onde
é a impedância do vácuo. Substituindo:
Para referência, se desejasse calcular
com a expressão complexa daria praticamente o mesmo número real (pequeno componente imag devido às perdas).
Passo 9
Velocidade de propagação
da linha TEM no ar é
Comentário didático: como a linha está no ar (permitividade próxima da do vácuo), a onda viaja praticamente à velocidade da luz no vácuo.
Passo 10
Agora encontro a separação
necessária para que
. Da fórmula lossless
isolando o
,
Logo
Substituindo
e
,
Interpretação prática: para esta bitola de fio (AWG 26) seria necessário que os centros ficassem à apenas cerca de
um do outro — muito próximos, quase encostando — para obter
. Isso mostra que pares de fios paralelos em ar tendem a ter impedâncias muito altas a menos que estejam quase em contato; é por isso que geometrias coaxiais são usadas para conseguir
ou
com fiações de diâmetros práticos.
Resposta
Separação para