Exercício 4. Calcule as seguintes derivadas
f(x)=\frac{\cos \left(x^{2}\right)}{\sqrt{x} \sin x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\cos\bigl(x^{2}\bigr)}{\sqrt{x}\,\sin x}.
O conteúdo aqui envolve a regra do quociente, a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos definir
u(x)=\cos\bigl(x^{2}\bigr), \quad g(x)=\sqrt{x}\,\sin x
e depois usar
f'(x)=\frac{g(x)\,u'(x)-u(x)\,g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^{2}}.

Passo 2

Calculamos u'(x) usando a regra da cadeia em \cos\bigl(x^{2}\bigr). Primeiro a derivada de \cos t é -\sin t, depois multiplicamos por \frac{d}{dx}(x^2)=2x. Logo,
u'(x) =\frac{d}{dx}\bigl[\cos(x^2)\bigr] =-\sin\bigl(x^2\bigr)\cdot 2x =-2x\,\sin\bigl(x^2\bigr).

Passo 3

Calculamos g'(x) onde g(x)=x^{1/2}\sin x. Aplicamos a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl[x^{1/2}\bigr]=\tfrac12\,x^{-1/2}, \quad \frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x.
Assim,
g'(x) =\bigl(x^{1/2}\bigr)'\sin x + x^{1/2}\,(\sin x)' =\tfrac12\,x^{-1/2}\,\sin x + x^{1/2}\,\cos x.

Passo 4

Substituímos em
f'(x) =\frac{g(x)\,u'(x)-u(x)\,g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^{2}}
com g(x)=x^{1/2}\sin x e u(x)=\cos(x^2). Obtemos
f'(x) =\frac{ \bigl(x^{1/2}\sin x\bigr)\bigl(-2x\,\sin(x^2)\bigr) - \cos(x^2)\,\bigl(\tfrac12\,x^{-1/2}\sin x + x^{1/2}\cos x\bigr) }{\bigl(x^{1/2}\sin x\bigr)^{2}}.

Passo 5

Calculamos o denominador ao quadrado:
\bigl(x^{1/2}\sin x\bigr)^{2} =x\,\sin^{2}x.
Logo,
f'(x) =\frac{-2x^{3/2}\,\sin x\,\sin(x^2) -\tfrac12\,x^{-1/2}\,\sin x\,\cos(x^2) - x^{1/2}\,\cos x\,\cos(x^2) }{x\,\sin^{2}x}.

Passo 6

Para simplificar, fatoramos x^{-1/2} no numerador e dividimos por x:
f'(x) =\frac{x^{-1/2}\Bigl[-2x^{2}\sin x\,\sin(x^2) -\tfrac12\,\sin x\,\cos(x^2) - x\,\cos x\,\cos(x^2)\Bigr]}{x\,\sin^{2}x} =\frac{-2x^{2}\sin x\,\sin(x^2) -\tfrac12\,\sin x\,\cos(x^2) - x\,\cos x\,\cos(x^2)} {x^{3/2}\,\sin^{2}x}.

Resposta

\boxed{ f'(x) =\frac{-2x^{2}\,\sin x\,\sin(x^2) -\tfrac12\,\sin x\,\cos(x^2) - x\,\cos x\,\cos(x^2)} {x^{3/2}\,\sin^{2}x} }.

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