Exercício 4. Calcule as seguintes derivadas
f(x)=\sqrt[3]{\frac{x-1}{x+2}}\

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \sqrt[3]{\frac{x-1}{x+2}}.
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia para função composta e a regra do quociente para derivadas.

Passo 2

Escrevemos
f(x) = g\bigl(h(x)\bigr),
com
h(x) = \frac{x-1}{x+2}, \quad g(u) = u^{1/3}.
Assim, pela regra da cadeia,
f'(x) = g'\bigl(h(x)\bigr)\,h'(x).

Passo 3

Calculamos separadamente:
g'(u) = \frac{1}{3}\,u^{-2/3},
h'(x) = \frac{(x+2)\cdot1 - (x-1)\cdot1}{(x+2)^2} = \frac{3}{(x+2)^2}.

Passo 4

Substituindo em f'(x),
f'(x) = \frac{1}{3}\Bigl(\frac{x-1}{x+2}\Bigr)^{-\!2/3} \cdot \frac{3}{(x+2)^2} = \Bigl(\frac{x-1}{x+2}\Bigr)^{-\!2/3}\frac{1}{(x+2)^2}.
Usando
\Bigl(\tfrac{a}{b}\Bigr)^{-\!2/3} = \frac{b^{2/3}}{a^{2/3}},
temos
f'(x) = \frac{(x+2)^{2/3}}{(x-1)^{2/3}(x+2)^2} = \frac{1}{(x-1)^{2/3}\,(x+2)^{4/3}}.

Resposta

f'(x) = \frac{1}{(x-1)^{2/3}\,(x+2)^{4/3}}.

Exercícios relacionados