Exercício 4. Calcule as seguintes derivadas
f(x)=\frac{2 x}{(x+\sqrt{x})^{1 / 3}}\

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\frac{2x}{\bigl(x+\sqrt{x}\bigr)^{1/3}}.
O conteúdo que vamos usar inclui a regra do produto (ou quociente) e a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Reescrevemos f como produto para aplicar a regra do produto de forma mais direta:
f(x)=2x\cdot\bigl(x+x^{1/2}\bigr)^{-1/3}.

Passo 3

Definimos
u(x)=2x,\quad v(x)=\bigl(x+x^{1/2}\bigr)^{-1/3}.
Então
u'(x)=2,
e usaremos a regra da cadeia para v'(x).

Passo 4

Para v(x)=\bigl(x + x^{1/2}\bigr)^{-1/3} temos, pela cadeia,
v'(x)=-\tfrac13\bigl(x+x^{1/2}\bigr)^{-4/3}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x+x^{1/2}\bigr) =-\tfrac13\bigl(x+x^{1/2}\bigr)^{-4/3}\bigl(1+\tfrac12x^{-1/2}\bigr).

Passo 5

Aplicando a regra do produto f'=u'v+u\,v',
f'(x) =2\bigl(x+x^{1/2}\bigr)^{-1/3} +2x\Bigl(-\tfrac13\bigl(x+x^{1/2}\bigr)^{-4/3}\bigl(1+\tfrac12x^{-1/2}\bigr)\Bigr).

Passo 6

Fatorando 2\,(x+x^{1/2})^{-4/3} e simplificando o que fica no colchete, obtemos
f'(x) =\frac{4x+5x^{1/2}}{3\,(x+x^{1/2})^{4/3}}.

Resposta

f'(x)=\frac{4x+5\sqrt{x}}{3\,(x+\sqrt{x})^{4/3}}.

Exercícios relacionados