Exercício 4. Calcule as seguintes derivadas
f(x)=e^{x^{2}} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^{x^{2}}\ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr).
Aqui vamos aplicar a regra do produto, a regra da cadeia e a derivada do logaritmo.

Passo 2

Aplicando a regra do produto, obtemos
f'(x) =(e^{x^{2}})'\,\ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr) +e^{x^{2}}\;\bigl(\ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr)\bigr)'.

Passo 3

Para (e^{x^{2}})' usamos a regra da cadeia:
(e^{x^{2}})' =e^{x^{2}}\cdot (x^{2})' =e^{x^{2}}\cdot 2x.

Passo 4

Para \bigl(\ln(1+\tfrac{1}{x})\bigr)' definimos h(x)=1+\tfrac{1}{x}.
Então
h'(x)=-\frac{1}{x^{2}},\quad \bigl(\ln h(x)\bigr)'=\frac{h'(x)}{h(x)} =-\frac{1/x^{2}}{1+1/x} =-\frac{1}{x(x+1)}.

Passo 5

Substituindo em f'(x) e agrupando termos:
f'(x) =e^{x^{2}}\cdot 2x\,\ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr) +e^{x^{2}}\Bigl(-\frac{1}{x(x+1)}\Bigr) =e^{x^{2}}\Bigl(2x\,\ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr) -\frac{1}{x(x+1)}\Bigr).

Resposta

f'(x)=e^{x^{2}}\Bigl(2x\,\ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr) -\frac{1}{x(x+1)}\Bigr).

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