Exercício 4. Calcule as seguintes derivadas
f(x)=e^{-x} \operatorname{sec} \left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^{-x}\,\operatorname{sec}\bigl(x^{2}\bigr)
e vamos usar a regra do produto e, para a segunda parte, a regra da cadeia.

Passo 2

Aplicando a regra do produto, temos
f'(x) = \bigl(e^{-x}\bigr)' \,\operatorname{sec}\bigl(x^{2}\bigr) + e^{-x}\,\bigl(\operatorname{sec}\bigl(x^{2}\bigr)\bigr)'.

Passo 3

Derivando a primeira parte,
\bigl(e^{-x}\bigr)' = -e^{-x}.

Passo 4

Para a segunda parte usamos a regra da cadeia: seja u=x^{2}, então u'=2x e
\bigl(\operatorname{sec}(u)\bigr)'=\operatorname{sec}(u)\,\tan(u)\,u' \quad\Longrightarrow\quad \bigl(\operatorname{sec}(x^{2})\bigr)'=2x\,\operatorname{sec}(x^{2})\,\tan(x^{2}).

Passo 5

Substituindo em f'(x),
f'(x) = -e^{-x}\operatorname{sec}(x^{2}) + e^{-x}\bigl(2x\,\operatorname{sec}(x^{2})\,\tan(x^{2})\bigr).

Passo 6

Fatorando e^{-x}\operatorname{sec}(x^{2}),
f'(x)=e^{-x}\,\operatorname{sec}(x^{2})\bigl(-1+2x\,\tan(x^{2})\bigr).

Resposta

\displaystyle f'(x)=e^{-x}\,\operatorname{sec}(x^{2})\bigl(2x\,\tan(x^{2})-1\bigr).

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