Exercício 8. Calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas e observações importantes:
- A função é uma composição: primeiro calcula-se
e depois aplica-se o logaritmo de base . - Para que
esteja definida é preciso que (porque o logaritmo exige argumento positivo). Logo o domínio natural da função é . - O que se pede: calcular
, a derivada em relação a .
Passo 2
Transformação útil (fórmula de mudança de base do logaritmo) e justificativa didática:
onde
é o logaritmo natural. Essa identidade vem de escrever
como o número
tal que
, tirar
dos dois lados e isolar
. Aqui
é a base do logaritmo (no nosso caso
) e
é o argumento (no nosso caso
). Aplicando isso a
obtemos uma forma mais simples para derivar:
Como
é constante, a derivada de
será
vezes a derivada de
.
Passo 3
Regra para derivar
(cadeia + derivada do logaritmo):
Se é uma função diferenciável e
, então
Se
Aqui
representa qualquer função composta que esteja dentro do
; no nosso caso
. A ideia intuítiva: a derivada do
dá
e multiplicamos pela derivada interna
(é a regra da cadeia).
Passo 4
Derivar a função interna
:
- Regra:
(derivada do seno é cosseno vezes a derivada do argumento). - Aqui
e . Portanto
Passo 5
Juntar tudo (aplicar a fórmula do passo 3 e multiplicar pelo fator
do passo 2):
Simplificando,
Outra forma equivalente, usando
(definida por
), é
Passo 6
Observação final sobre domínio da derivada:
A expressão encontrada para só faz sentido onde
está definida, isto é, onde
. Além disso, a forma com razão
exige
(o que já é garantido pelo domínio do logaritmo). Portanto a derivada é válida exatamente no domínio
.
A expressão encontrada para