Exercício 8. Calcule as seguintes derivadas:
\log _{2}(\operatorname{sen}(2 x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\log_{2}\big(\operatorname{sen}(2x)\big).
Informações dadas e observações importantes:
  • A função é uma composição: primeiro calcula-se \operatorname{sen}(2x) e depois aplica-se o logaritmo de base 2.
  • Para que f(x) esteja definida é preciso que \operatorname{sen}(2x)>0 (porque o logaritmo exige argumento positivo). Logo o domínio natural da função é \{x\in\mathbb{R}\mid \operatorname{sen}(2x)>0\}.
  • O que se pede: calcular f'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Transformação útil (fórmula de mudança de base do logaritmo) e justificativa didática:
\log_{a}(t)=\frac{\ln(t)}{\ln(a)},
onde \ln é o logaritmo natural. Essa identidade vem de escrever \log_a t como o número y tal que a^y=t, tirar \ln dos dois lados e isolar y. Aqui a é a base do logaritmo (no nosso caso a=2) e t é o argumento (no nosso caso t=\operatorname{sen}(2x)). Aplicando isso a f obtemos uma forma mais simples para derivar:
f(x)=\frac{\ln\big(\operatorname{sen}(2x)\big)}{\ln 2}.
Como \ln 2 é constante, a derivada de f será \dfrac{1}{\ln 2} vezes a derivada de \ln(\operatorname{sen}(2x)).

Passo 3

Regra para derivar \ln(u(x)) (cadeia + derivada do logaritmo):
Se u(x) é uma função diferenciável e u(x)>0, então
\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x) representa qualquer função composta que esteja dentro do \ln; no nosso caso u(x)=\operatorname{sen}(2x). A ideia intuítiva: a derivada do \ln 1/u e multiplicamos pela derivada interna u'(x) (é a regra da cadeia).

Passo 4

Derivar a função interna \;u(x)=\operatorname{sen}(2x):
  • Regra: \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(v)=\operatorname{cos}(v)\cdot v' (derivada do seno é cosseno vezes a derivada do argumento).
  • Aqui v(x)=2x e v'(x)=2. Portanto
u'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{cos}(2x).

Passo 5

Juntar tudo (aplicar a fórmula do passo 3 e multiplicar pelo fator \dfrac{1}{\ln 2} do passo 2):
f'(x)=\frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{u'(x)}{u(x)} =\frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{2\operatorname{cos}(2x)}{\operatorname{sen}(2x)}.
Simplificando,
f'(x)=\frac{2\operatorname{cos}(2x)}{\operatorname{sen}(2x)\,\ln 2}.
Outra forma equivalente, usando \cot (definida por \cot t=\dfrac{\cos t}{\sin t}), é
f'(x)=\frac{2}{\ln 2}\,\cot(2x).

Passo 6

Observação final sobre domínio da derivada:
A expressão encontrada para f'(x) só faz sentido onde f está definida, isto é, onde \operatorname{sen}(2x)>0. Além disso, a forma com razão \dfrac{\cos(2x)}{\sin(2x)} exige \operatorname{sen}(2x)\neq 0 (o que já é garantido pelo domínio do logaritmo). Portanto a derivada é válida exatamente no domínio \{x\in\mathbb{R}\mid \operatorname{sen}(2x)>0\}.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{2\operatorname{cos}(2x)}{\operatorname{sen}(2x)\,\ln 2}=\frac{2}{\ln 2}\,\cot(2x)

Exercícios relacionados