Exercício 5. Encontre as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações fornecidas e observações sobre domínio:
- A função envolve
, que está definida apenas para . - O denominador não pode ser zero, portanto
. - Conclusão: a derivada será determinada para
com .
Passo 2
Relembrando regras de derivação que vamos usar:
- Derivada do logaritmo natural:
para .
Explicação curta:cresce com taxa inversamente proporcional a ; por isso surge . - Regra do quociente: se
, então
Aqui
e
são as derivadas de
e
, respectivamente. A regra combina a variação do numerador e do denominador de forma que a razão resultante seja correta.
Passo 3
Identificar partes e calcular derivadas parciais:
Derivadas:
Explicando: a derivada de uma constante é
; a derivada de
é
; o sinal negativo acompanha quando a função é
.
Passo 4
Aplicar a regra do quociente substituindo
:
Agora simplificar o numerador passo a passo:
Colocar em evidência
:
Passo 5
Substituindo a forma simplificada do numerador na expressão de
:
Escrever como uma única fração:
Lembrando as condições de existência: esta expressão vale para
e
.