Exercício 5. Encontre as derivadas das seguintes funções:
f(x)=\frac{1+\ln (x)}{1-\ln (x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{1+\ln(x)}{1-\ln(x)}.
Informações fornecidas e observações sobre domínio:
  • A função envolve \ln(x), que está definida apenas para x>0.
  • O denominador não pode ser zero, portanto \,1-\ln(x)\neq0\Rightarrow \ln(x)\neq1\Rightarrow x\neq e.
  • Conclusão: a derivada será determinada para x>0 com x\neq e.

Passo 2

Relembrando regras de derivação que vamos usar:
  • Derivada do logaritmo natural: \dfrac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr)=\dfrac{1}{x} para x>0.
    Explicação curta: \ln(x) cresce com taxa inversamente proporcional a x; por isso surge \dfrac{1}{x}.
  • Regra do quociente: se \displaystyle f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^2}.
Aqui u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v, respectivamente. A regra combina a variação do numerador e do denominador de forma que a razão resultante seja correta.

Passo 3

Identificar partes e calcular derivadas parciais:
u(x)=1+\ln(x),\qquad v(x)=1-\ln(x).
Derivadas:
u'(x)=0+\frac{1}{x}=\frac{1}{x}, \qquad v'(x)=0-\frac{1}{x}=-\frac{1}{x}.
Explicando: a derivada de uma constante é 0; a derivada de \ln(x) é \dfrac{1}{x}; o sinal negativo acompanha quando a função é -\ln(x).

Passo 4

Aplicar a regra do quociente substituindo u,u',v,v':
f'(x)=\frac{\bigl(\dfrac{1}{x}\bigr)\bigl(1-\ln(x)\bigr)-\bigl(1+\ln(x)\bigr)\bigl(-\dfrac{1}{x}\bigr)}{\bigl(1-\ln(x)\bigr)^2}.
Agora simplificar o numerador passo a passo:
\text{numerador}=\frac{1-\ln(x)}{x}+\frac{1+\ln(x)}{x}.
Colocar em evidência \dfrac{1}{x}:
\text{numerador}=\frac{1}{x}\bigl(1-\ln(x)+1+\ln(x)\bigr)=\frac{1}{x}\cdot 2=\frac{2}{x}.

Passo 5

Substituindo a forma simplificada do numerador na expressão de f'(x):
f'(x)=\frac{\dfrac{2}{x}}{\bigl(1-\ln(x)\bigr)^2}.
Escrever como uma única fração:
f'(x)=\frac{2}{x\bigl(1-\ln(x)\bigr)^2}.
Lembrando as condições de existência: esta expressão vale para x>0 e x\neq e.

Resposta

f'(x)=\frac{2}{x\bigl(1-\ln(x)\bigr)^2}

Exercícios relacionados