Exercício 8. Calcule as seguintes derivadas:
\operatorname{tg}(4 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
\operatorname{tg}(4x).
Informações dadas:
  • A função que deve ser diferenciada é \operatorname{tg}(4x).
  • A variável independente é x.
  • Objetivo: encontrar \dfrac{d}{dx}\operatorname{tg}(4x).

Passo 2

Recordando a fórmula básica: a derivada da tangente de uma função u em relação a u é
\frac{d}{du}\operatorname{tg}(u)=\operatorname{sec}^{2}(u).
Explicação e demonstração curta dessa fórmula (para não decorar sem entender):
  • Escreve-se \operatorname{tg}(u)=\dfrac{\sin u}{\cos u}.
  • Usando a regra do quociente: se h(u)=\dfrac{p(u)}{q(u)} então h'(u)=\frac{p'(u)q(u)-p(u)q'(u)}{q(u)^2}.
  • Aplicando com p(u)=\sin u ( p'(u)=\cos u) e q(u)=\cos u ( q'(u)=-\sin u) temos \frac{d}{du}\left(\frac{\sin u}{\cos u}\right) = \frac{\cos u\cdot\cos u - \sin u\cdot(-\sin u)}{\cos^2 u} = \frac{\cos^2 u+\sin^2 u}{\cos^2 u}.
  • Usando \sin^2 u+\cos^2 u=1 obtemos \frac{1}{\cos^2 u}=\operatorname{sec}^2 u,o que confirma \dfrac{d}{du}\operatorname{tg}(u)=\operatorname{sec}^{2}(u).
Também vale a identidade trigonométrica útil
\operatorname{sec}^{2}(u)=1+\operatorname{tg}^{2}(u),
que permite escrever a derivada de formas equivalentes.

Passo 3

Recordando a regra da cadeia (fundamental para composições): se F(x)=f(g(x)) então
F'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
Explicação do que cada símbolo significa:
  • f é a função externa (por exemplo \operatorname{tg}).
  • g é a função interna (no nosso caso g(x)=4x).
  • f'(g(x)) é a derivada da função externa avaliada na função interna.
  • g'(x) é a derivada da função interna.
    Exemplo rápido: \dfrac{d}{dx}\sin(3x)=\cos(3x)\cdot 3=3\cos(3x).

Passo 4

Identificar a interna e derivá-la:
  • Tome u=4x como função interna.
  • A derivada de u em relação a x é \frac{du}{dx}=4,porque a derivada de 4x é 4.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia à função \operatorname{tg}(4x):
  • A derivada da função externa \operatorname{tg}(u) em relação a u é \operatorname{sec}^{2}(u) (Passo 2).
  • Multiplica-se por du/dx (Passo 4).
    Logo,
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}(4x)=\operatorname{sec}^{2}(u)\cdot\frac{du}{dx}.
Substituindo u=4x e \dfrac{du}{dx}=4 obtém-se
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}(4x)=4\operatorname{sec}^{2}(4x).
Observação: usando \operatorname{sec}^{2}(4x)=1+\operatorname{tg}^{2}(4x) a resposta também pode ser escrita como
4\bigl(1+\operatorname{tg}^{2}(4x)\bigr).

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (prático e motivador):
  • Sempre identifique a função interna (aqui 4x) — isso já indica que vai aparecer um fator 4 no final.
  • Lembre: derivada de \operatorname{tg} é \operatorname{sec}^{2}, e aplique a cadeia.
  • Exemplos para treinar rápido: \dfrac{d}{dx}\operatorname{tg}(3x)=3\operatorname{sec}^{2}(3x), \dfrac{d}{dx}\operatorname{tg}(ax+b)=a\operatorname{sec}^{2}(ax+b).
  • Vai dar certo — pratique esses passos em 5 ou 10 exemplos e você vai pegar o jeito rapidinho!

Resposta

4\operatorname{sec}^{2}(4x)

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