Exercício 8. Calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função que deve ser diferenciada é
. - A variável independente é
. - Objetivo: encontrar
.
Passo 2
Recordando a fórmula básica: a derivada da tangente de uma função
em relação a
é
Explicação e demonstração curta dessa fórmula (para não decorar sem entender):
- Escreve-se
. - Usando a regra do quociente: se
então - Aplicando com
( ) e ( ) temos - Usando
obtemos o que confirma .
Também vale a identidade trigonométrica útil
que permite escrever a derivada de formas equivalentes.
Passo 3
Recordando a regra da cadeia (fundamental para composições): se
então
Explicação do que cada símbolo significa:
-
é a função externa (por exemplo ). -
é a função interna (no nosso caso ). -
é a derivada da função externa avaliada na função interna. -
é a derivada da função interna.
Exemplo rápido:.
Passo 4
Identificar a interna e derivá-la:
- Tome
como função interna. - A derivada de
em relação a é porque a derivada de é .
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia à função
:
- A derivada da função externa
em relação a é (Passo 2). - Multiplica-se por
(Passo 4).
Logo,
Substituindo
e
obtém-se
Observação: usando
a resposta também pode ser escrita como
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (prático e motivador):
- Sempre identifique a função interna (aqui
) — isso já indica que vai aparecer um fator no final. - Lembre: derivada de
é , e aplique a cadeia. - Exemplos para treinar rápido:
, . - Vai dar certo — pratique esses passos em 5 ou 10 exemplos e você vai pegar o jeito rapidinho!