Exercício 6. Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a) \int \operatorname{sen}(x+4) d x
(b) \int \frac{1}{(1+3 x)^{5}} d x
(c) \int \cos (10 x) d x
(d) \int \sqrt{x+1} d x
(e) \int 2 x e^{x^{2}} d x
(f) \int \frac{1}{x \ln (x)} d x
(g) \int \operatorname{sec} ^{2}(2 x) d x
(h) \int \operatorname{sec} ^{2}(2 x) \operatorname{tg}(2 x) d x
(i) \int \operatorname{tg}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as integrais indefinidas abaixo (cada uma é uma função f(x) cujo antiderivado \int f(x)\,dx deve ser encontrado):
(a) \displaystyle \int \operatorname{sen}(x+4)\,dx
(b) \displaystyle \int \frac{1}{(1+3x)^{5}}\,dx
(c) \displaystyle \int \cos(10x)\,dx
(d) \displaystyle \int \sqrt{x+1}\,dx
(e) \displaystyle \int 2x\,e^{x^{2}}\,dx
(f) \displaystyle \int \frac{1}{x\ln(x)}\,dx
(g) \displaystyle \int \operatorname{sec}^{2}(2x)\,dx
(h) \displaystyle \int \operatorname{sec}^{2}(2x)\,\operatorname{tg}(2x)\,dx
(i) \displaystyle \int \operatorname{tg}(x)\,dx
As informações relevantes: cada expressão a integrar está explícita; deve-se aplicar regras básicas de integração (regra do poder, linearidade, substituição, integrais usuais de exponencial e trigonometria, e manipulações elementares).

Passo 2

Regras básicas que vou usar (lembrando o que cada símbolo significa):
  • Linearidade: para constantes a,b e funções f,g,
\int \big(a f(x)+b g(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Isto significa que posso separar somas e puxar constantes para fora da integral.
  • Regra do poder: se n\neq -1 é um número real, então
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui x^{n} significa x elevado à potência n.
  • Exponencial: para constante a\neq 0,
\int e^{a x}\,dx = \frac{1}{a}e^{a x}+C.
  • Integral de seno e cosseno (caso simples, sem cadeia):
\int \sin x\,dx = -\cos x + C,\qquad \int \cos x\,dx = \sin x + C.
  • Derivadas trigonométricas úteis (para reconhecer antiderivadas):
\frac{d}{dx}\tan x = \operatorname{sec}^{2}x,\qquad \frac{d}{dx}\operatorname{sec} x = \operatorname{sec} x\tan x.
Vou usar também a técnica de substituição (u-substitution), explicada a seguir.

Passo 3

Explicando a substituição (a ferramenta mais usada aqui): se a integral tem a forma \int f(g(x))g'(x)\,dx, então posso pôr u=g(x) e du=g'(x)\,dx, transformando a integral em \int f(u)\,du. Em palavras: quando dentro da função composta aparece a derivada interna multiplicando, é conveniente trocar de variável. Exemplo genérico:
\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du = F(u)+C = F(g(x))+C,
onde F é antiderivada de f. Vou aplicar isso sempre que identificar uma função composta com sua derivada multiplicando.

Passo 4

Também lembro duas manipulações úteis para funções trigonométricas e logaritmos:
  • Para integrar \tan x, uso \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} e substituo u=\cos x, pois du = -\sin x\,dx.
  • Para integrar \dfrac{1}{x\ln x}, observo que se u=\ln x então du=\dfrac{1}{x}\,dx, portanto a integral vira \int \dfrac{1}{u}\,du=\ln|u|+C.
Agora vou resolver cada integral passo a passo aplicando essas ideias.

Passo 5

(a) \displaystyle \int \operatorname{sen}(x+4)\,dx.
Identificação: é uma função seno com argumento x+4. A derivada de x+4 é 1, ou seja, já está na forma f(g(x))g'(x) com g'(x)=1.
Substituição: ponho \;u = x+4, então \;du = dx. A integral fica
\int \sin u\,du.
Antiderivada: como \int \sin u\,du = -\cos u + C, volto à variável x:
\int \sin(x+4)\,dx = -\cos(x+4) + C.

Passo 6

(b) \displaystyle \int \frac{1}{(1+3x)^{5}}\,dx.
Identificação: é uma potência (1+3x)^{-5}. Uso substituição u=1+3x (a derivada de 1+3x é 3).
Substituição: \;u = 1+3x então \;du = 3\,dx e \;dx = \dfrac{1}{3}\,du. A integral transforma-se em
\int u^{-5}\cdot \frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int u^{-5}\,du.
Aplico a regra do poder ( n=-5, n\neq -1):
\frac{1}{3}\cdot \frac{u^{-4}}{-4} + C = -\frac{1}{12}u^{-4}+C.
Voltando a x:
\int \frac{1}{(1+3x)^{5}}\,dx = -\frac{1}{12}\frac{1}{(1+3x)^{4}} + C.

Passo 7

(c) \displaystyle \int \cos(10x)\,dx.
Identificação: função \cos com cadeia 10x. Use u=10x, du=10\,dx, dx = du/10.
Substituição:
\int \cos(10x)\,dx = \int \cos u\cdot \frac{1}{10}\,du = \frac{1}{10}\int \cos u\,du.
Antiderivada:
\frac{1}{10}\sin u + C = \frac{1}{10}\sin(10x) + C.

Passo 8

(d) \displaystyle \int \sqrt{x+1}\,dx.
Escrevo como potência: \sqrt{x+1}=(x+1)^{1/2}. Substituição simples u=x+1, du=dx, então
\int (x+1)^{1/2}\,dx = \int u^{1/2}\,du.
Aplico a regra do poder com n=1/2:
\frac{u^{3/2}}{3/2}+C = \frac{2}{3}u^{3/2}+C.
Voltando:
\int \sqrt{x+1}\,dx = \frac{2}{3}(x+1)^{3/2}+C.

Passo 9

(e) \displaystyle \int 2x\,e^{x^{2}}\,dx.
Identificação: e^{x^{2}} multiplicado por 2x, que é exatamente a derivada de x^{2}. Então uso u=x^{2}, du=2x\,dx.
Substituição direta:
\int 2x\,e^{x^{2}}\,dx = \int e^{u}\,du = e^{u}+C = e^{x^{2}}+C.

Passo 10

(f) \displaystyle \int \frac{1}{x\ln(x)}\,dx.
Observação sobre domínio: \ln(x) está definida para x>0, então consideramos x>0 (pode-se escrever a resposta com valor absoluto interno no log final). Faço a substituição u=\ln x, então du = \dfrac{1}{x}\,dx.
Transformação:
\int \frac{1}{x\ln x}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du.
Antiderivada:
\ln|u|+C = \ln|\ln x| + C.
(Para x>1 o interior é positivo; a forma \ln|\ln x| cobre sinais do \ln x quando definido.)

Passo 11

(g) \displaystyle \int \operatorname{sec}^{2}(2x)\,dx.
Sabendo que \dfrac{d}{dx}\tan x = \operatorname{sec}^{2}x, para a função composta \tan(2x) vale
\frac{d}{dx}\tan(2x) = 2\operatorname{sec}^{2}(2x).
Portanto \operatorname{sec}^{2}(2x) é metade da derivada de \tan(2x). Assim
\int \operatorname{sec}^{2}(2x)\,dx = \frac{1}{2}\tan(2x) + C.

Passo 12

(h) \displaystyle \int \operatorname{sec}^{2}(2x)\,\operatorname{tg}(2x)\,dx.
Aqui é útil notar a derivada de \operatorname{sec}^{2}t em relação a t:
\frac{d}{dt}\operatorname{sec}^{2}t = 2\operatorname{sec}^{2}t\tan t.
Aplicando cadeia para t=2x:
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}^{2}(2x) = 2\operatorname{sec}^{2}(2x)\tan(2x)\cdot \frac{d}{dx}(2x) = 4\operatorname{sec}^{2}(2x)\tan(2x).
Logo \operatorname{sec}^{2}(2x)\tan(2x) é \dfrac{1}{4} da derivada de \operatorname{sec}^{2}(2x). Portanto
\int \operatorname{sec}^{2}(2x)\tan(2x)\,dx = \frac{1}{4}\operatorname{sec}^{2}(2x) + C.

Passo 13

(i) \displaystyle \int \operatorname{tg}(x)\,dx.
Uso a identidade \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}. Faço u=\cos x, então du = -\sin x\,dx, ou -du = \sin x\,dx. Assim
\int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = \int \frac{-du}{u} = -\ln|u| + C.
Voltando a x:
\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C.

Resposta

(a) -\cos(x+4)+C
(b) -\dfrac{1}{12}(1+3x)^{-4}+C
(c) \dfrac{1}{10}\sin(10x)+C
(d) \dfrac{2}{3}(x+1)^{3/2}+C
(e) e^{x^{2}}+C
(f) \ln|\ln x|+C
(g) \dfrac{1}{2}\tan(2x)+C
(h) \dfrac{1}{4}\operatorname{sec}^{2}(2x)+C
(i) -\ln|\cos x|+C

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