Exercício 6. Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Passo 1
O enunciado pede para calcular as integrais indefinidas abaixo (cada uma é uma função
cujo antiderivado
deve ser encontrado):
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
As informações relevantes: cada expressão a integrar está explícita; deve-se aplicar regras básicas de integração (regra do poder, linearidade, substituição, integrais usuais de exponencial e trigonometria, e manipulações elementares).
Passo 2
Regras básicas que vou usar (lembrando o que cada símbolo significa):
- Linearidade: para constantes
e funções ,
Isto significa que posso separar somas e puxar constantes para fora da integral.
- Regra do poder: se
é um número real, então
onde
é a constante de integração. Aqui
significa
elevado à potência
.
- Exponencial: para constante
,
- Integral de seno e cosseno (caso simples, sem cadeia):
- Derivadas trigonométricas úteis (para reconhecer antiderivadas):
Vou usar também a técnica de substituição (u-substitution), explicada a seguir.
Passo 3
Explicando a substituição (a ferramenta mais usada aqui): se a integral tem a forma
, então posso pôr
e
, transformando a integral em
. Em palavras: quando dentro da função composta aparece a derivada interna multiplicando, é conveniente trocar de variável. Exemplo genérico:
onde
é antiderivada de
. Vou aplicar isso sempre que identificar uma função composta com sua derivada multiplicando.
Passo 4
Também lembro duas manipulações úteis para funções trigonométricas e logaritmos:
- Para integrar
, uso e substituo , pois . - Para integrar
, observo que se então , portanto a integral vira .
Agora vou resolver cada integral passo a passo aplicando essas ideias.
Passo 5
(a)
.
Identificação: é uma função seno com argumento
. A derivada de
é
, ou seja, já está na forma
com
.
Substituição: ponho
, então
. A integral fica
Antiderivada: como
, volto à variável
:
Passo 6
(b)
.
Identificação: é uma potência
. Uso substituição
(a derivada de
é
).
Substituição:
então
e
. A integral transforma-se em
Aplico a regra do poder (
,
):
Voltando a
:
Passo 7
(c)
.
Identificação: função
com cadeia
. Use
,
,
.
Substituição:
Antiderivada:
Passo 8
(d)
.
Escrevo como potência:
. Substituição simples
,
, então
Aplico a regra do poder com
:
Voltando:
Passo 9
(e)
.
Identificação:
multiplicado por
, que é exatamente a derivada de
. Então uso
,
.
Substituição direta:
Passo 10
(f)
.
Observação sobre domínio:
está definida para
, então consideramos
(pode-se escrever a resposta com valor absoluto interno no log final). Faço a substituição
, então
.
Transformação:
Antiderivada:
(Para
o interior é positivo; a forma
cobre sinais do
quando definido.)
Passo 11
(g)
.
Sabendo que
, para a função composta
vale
Portanto
é metade da derivada de
. Assim
Passo 12
(h)
.
Aqui é útil notar a derivada de
em relação a
:
Aplicando cadeia para
:
Logo
é
da derivada de
. Portanto
Passo 13
(i)
.
Uso a identidade
. Faço
, então
, ou
. Assim
Voltando a
:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)