Exercício 4. Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações úteis dadas pelo enunciado:
- A função integranda é
. - Nos pontos
e temos e , ou seja, a integranda fica infinita (há singularidades) exatamente nos limites de integração.
Passo 2
Vamos lembrar uma primitiva (antiderivada) útil. Sabendo que
, calculemos sua derivada para ver a relação com
:
Portanto a antiderivada de
é
Passo 3
Como a integranda tem singularidades em
e
(os extremos), a integral é imprópria. Devemos interpretá-la como um limite:
Passo 4
Usando a primitiva
no intervalo
com
, obtemos
Passo 5
Agora analisamos os limites das duas parcelas quando
e
.
- Para
ponha com . Então e , logo
- Para
ponha com . Então e , logo
e portanto
Somando as duas parcelas no limite:
Como o valor limite é infinito, a integral imprópria não converge para um número finito; diverge para
.
Passo 6
Interpretação final: a integranda é positiva e não integrável de forma finita nos extremos porque explod e como
perto dos zeros de
. Por isso a área indicada é infinita.