Exercício 4. Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{\pi}^{2 \pi} \operatorname{cossec}^{2}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{\pi}^{2\pi}\csc^{2}(x)\,dx.
Informações úteis dadas pelo enunciado:
  • A função integranda é \csc^{2}(x)=\dfrac{1}{\sin^{2}(x)}.
  • Nos pontos x=\pi e x=2\pi temos \sin(\pi)=0 e \sin(2\pi)=0, ou seja, a integranda fica infinita (há singularidades) exatamente nos limites de integração.

Passo 2

Vamos lembrar uma primitiva (antiderivada) útil. Sabendo que \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}, calculemos sua derivada para ver a relação com \csc^2 x:
\frac{d}{dx}\cot x = \frac{d}{dx}\!\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right) = \frac{(-\sin x)\sin x - \cos x(\cos x)}{\sin^{2}x} = -\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin^{2}x} = -\frac{1}{\sin^{2}x} = -\csc^{2}x.
Portanto a antiderivada de \csc^{2}x é
\int \csc^{2}x\,dx = -\cot x + C.

Passo 3

Como a integranda tem singularidades em x=\pi e x=2\pi (os extremos), a integral é imprópria. Devemos interpretá-la como um limite:
\int_{\pi}^{2\pi}\csc^{2}x\,dx =\lim_{a\to\pi^{+}}\lim_{b\to 2\pi^{-}}\int_{a}^{b}\csc^{2}x\,dx.

Passo 4

Usando a primitiva -\cot x no intervalo [a,b] com \pi<a<b<2\pi, obtemos
\int_{a}^{b}\csc^{2}x\,dx = \big[-\cot x\big]_{a}^{b} = -\cot b + \cot a.

Passo 5

Agora analisamos os limites das duas parcelas quando a\to\pi^{+} e b\to2\pi^{-}.
  • Para a\to\pi^{+} ponha a=\pi+\varepsilon com \varepsilon\to 0^{+}. Então \sin(\pi+\varepsilon)\approx -\varepsilon e \cos(\pi+\varepsilon)\approx -1, logo
\cot a = \frac{\cos a}{\sin a}\approx \frac{-1}{-\varepsilon}=\frac{1}{\varepsilon}\to +\infty.
  • Para b\to 2\pi^{-} ponha b=2\pi-\varepsilon com \varepsilon\to 0^{+}. Então \sin(2\pi-\varepsilon)\approx -\varepsilon e \cos(2\pi-\varepsilon)\approx 1, logo
\cot b = \frac{\cos b}{\sin b}\approx \frac{1}{-\varepsilon}=-\frac{1}{\varepsilon}\to -\infty,
e portanto
-\cot b \to +\infty.
Somando as duas parcelas no limite:
\lim_{a\to\pi^{+}}\lim_{b\to 2\pi^{-}}\big(-\cot b + \cot a\big) = (+\infty) + (+\infty) = +\infty.
Como o valor limite é infinito, a integral imprópria não converge para um número finito; diverge para +\infty.

Passo 6

Interpretação final: a integranda é positiva e não integrável de forma finita nos extremos porque explod e como 1/\varepsilon^{2} perto dos zeros de \sin x. Por isso a área indicada é infinita.

Resposta

+\infty

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