Exercício 2.1.3. Calcule os seguintes limites das seguintes sequências:
a) \lim \frac{2^{n}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite, quando n\to\infty, da sequência cujo termo geral é
a_n=\frac{2^{n}}{n^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • O numerador é 2^{n} (uma função exponencial em n).
  • O denominador é n^{2} (um polinômio de grau 2 em n).
  • Todos os termos são positivos para n\ge1.
    A pergunta explícita é: qual é \lim_{n\to\infty} \dfrac{2^{n}}{n^{2}}?

Passo 2

Vou escolher o método de comparação pelo quociente de termos consecutivos (às vezes chamado de “teste da razão” para sequências). Motivo: é um método simples, usa apenas álgebra básica, e é bem eficaz quando o numerador é exponencial e o denominador é polinomial. A ideia é estudar
r_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}
e ver o comportamento de r_n quando n\to\infty. Se r_n\to L com L>1 e a_n>0, isso indica que os termos aumentam geometricamente a partir de certo ponto e a sequência tende a +\infty. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Calculemos o quociente entre termos consecutivos:
r_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\displaystyle\frac{2^{\,n+1}}{(n+1)^{2}}}{\displaystyle\frac{2^{n}}{n^{2}}}.
Simplificando a fração:
r_n=2\cdot\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}.
Aqui usei a propriedade 2^{n+1}/2^{n}=2.

Passo 4

Agora vamos estudar o limite de r_n quando n\to\infty. Observe que
\frac{n}{n+1}=\frac{1}{1+\tfrac{1}{n}}\longrightarrow 1 \quad\text{quando }n\to\infty.
Portanto
\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2}\longrightarrow 1,
e assim
r_n=2\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2}\longrightarrow 2\quad\text{quando }n\to\infty.
Logo o limite do quociente é 2, que é maior que 1.

Passo 5

Vamos usar a consequência prática desse fato (explico por que é válido): se a_n>0 para todo n e r_n=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to L com L>1, então existe um N e um número r com 1<r<L tais que, para todo n\ge N, temos r_n>r. Assim, para k\ge0,
a_{n+k}=a_n\cdot r_n\cdot r_{n+1}\cdots r_{n+k-1}\ge a_n\cdot r^{k}.
Como r>1, a sequência geométrica r^{k} cresce sem limite quando k\to\infty, logo a_{n+k}\to\infty. Isso mostra que a própria sequência a_n tende a +\infty.

Passo 6

Aplicando o raciocínio anterior ao nosso caso: encontramos r_n\to 2>1. Portanto a sequência \bigl(a_n\bigr) cresce geometricamente a partir de algum índice e seus termos tornam-se arbitrariamente grandes. Concluímos que
\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}}{n^{2}}=+\infty.

Resposta

+\infty

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