Exercício 2.1.3. Calcule os seguintes limites das seguintes sequências:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede o limite, quando
, da sequência cujo termo geral é
Informações relevantes dadas:
- O numerador é
(uma função exponencial em ). - O denominador é
(um polinômio de grau 2 em ). - Todos os termos são positivos para
.
A pergunta explícita é: qual é?
Passo 2
Vou escolher o método de comparação pelo quociente de termos consecutivos (às vezes chamado de “teste da razão” para sequências). Motivo: é um método simples, usa apenas álgebra básica, e é bem eficaz quando o numerador é exponencial e o denominador é polinomial. A ideia é estudar
e ver o comportamento de
quando
. Se
com
e
, isso indica que os termos aumentam geometricamente a partir de certo ponto e a sequência tende a
. Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Calculemos o quociente entre termos consecutivos:
Simplificando a fração:
Aqui usei a propriedade
.
Passo 4
Agora vamos estudar o limite de
quando
. Observe que
Portanto
e assim
Logo o limite do quociente é
, que é maior que
.
Passo 5
Vamos usar a consequência prática desse fato (explico por que é válido): se
para todo
e
com
, então existe um
e um número
com
tais que, para todo
, temos
. Assim, para
,
Como
, a sequência geométrica
cresce sem limite quando
, logo
. Isso mostra que a própria sequência
tende a
.
Passo 6
Aplicando o raciocínio anterior ao nosso caso: encontramos
. Portanto a sequência
cresce geometricamente a partir de algum índice e seus termos tornam-se arbitrariamente grandes. Concluímos que