Exercício 2.1.3. Calcule os seguintes limites das seguintes sequências:
h) \lim \left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}
quando n\to\infty. Informações dadas:
  • A sequência é a_n=\left(1+\dfrac{2}{n}\right)^{n}.
  • A variável de aproximação é n e queremos o comportamento quando n cresce sem limite ( n\to\infty).
    A pergunta é: qual é \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n} ?

Passo 2

Estratégia (explicada devagar): para sequências positivas com potência envolvendo n no expoente, é muito útil tomar o logaritmo natural, porque o log transforma potência em produto e facilita o limite. Depois de achar o limite do logaritmo, voltamos aplicando a função exponencial, que é contínua (ou seja, limites passam pelo exponencial). Vou fazer isso passo a passo e explicar cada passo.

Passo 3

Calcule o logaritmo natural da sequência. Como toda expressão matemática precisa estar clara:
\ln\left(\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}\right)=n\ln\!\left(1+\frac{2}{n}\right).
Justificativa: a regra \ln(x^n)=n\ln x vale para x>0, aqui 1+\frac{2}{n}>0 para todo n, então é válida.

Passo 4

Agora vamos estudar o limite de n\ln\!\left(1+\dfrac{2}{n}\right). Introduzo t_n=\dfrac{2}{n}, assim t_n\to 0 quando n\to\infty. Reescrevendo:
n\ln\!\left(1+\frac{2}{n}\right)=\frac{2}{t_n}\ln(1+t_n)=2\cdot\frac{\ln(1+t_n)}{t_n}.
Observe que \dfrac{\ln(1+t)}{t} é uma função de t que tem limite 1 quando t\to0. Explico por que: pela definição do derivado, a derivada de f(x)=\ln x no ponto x=1 é
f'(1)=\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)-\ln(1)}{t}=\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1,
porque \dfrac{d}{dx}\ln x\big|_{x=1}=1. (Alternativamente, quem já viu séries pode usar \ln(1+t)=t+o(t), que dá o mesmo resultado.) Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+t_n)}{t_n}=1.

Passo 5

Com isso, voltamos à expressão em n:
\lim_{n\to\infty} n\ln\!\left(1+\frac{2}{n}\right)=\lim_{n\to\infty} 2\cdot\frac{\ln(1+t_n)}{t_n}=2\cdot 1=2.
Logo o limite do logaritmo da sequência é 2.

Passo 6

Como a função exponencial \exp(x)=e^{x} é contínua, se \ln(a_n)\to 2 então a_n=\exp(\ln a_n)\to \exp(2)=e^{2}. Portanto
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}=e^{2}.

Resposta

e^{2}

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