Exercício 2.1.3. Calcule os seguintes limites das seguintes sequências:
h) \lim \left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}
Passo 1
O enunciado pede o limite da sequência
\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}
quando n\to\infty. Informações dadas:
A sequência é a_n=\left(1+\dfrac{2}{n}\right)^{n}.
A variável de aproximação é n e queremos o comportamento quando n cresce sem limite (n\to\infty).
A pergunta é: qual é \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n} ?
Passo 2
Estratégia (explicada devagar): para sequências positivas com potência envolvendo n no expoente, é muito útil tomar o logaritmo natural, porque o log transforma potência em produto e facilita o limite. Depois de achar o limite do logaritmo, voltamos aplicando a função exponencial, que é contínua (ou seja, limites passam pelo exponencial). Vou fazer isso passo a passo e explicar cada passo.
Passo 3
Calcule o logaritmo natural da sequência. Como toda expressão matemática precisa estar clara:
Observe que \dfrac{\ln(1+t)}{t} é uma função de t que tem limite 1 quando t\to0. Explico por que: pela definição do derivado, a derivada de f(x)=\ln x no ponto x=1 é