Exercício 1. Calcule os seguintes limites (sem usar a Regra de L’Hôspital):
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+2 x-3}{\sqrt[3]{x}-1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 1} \frac{x^{2}+2x-3}{\sqrt[3]{x}-1}.
Informações dadas e o que é pedido:
\;1) Temos uma função racional na variável x com numerador x^{2}+2x-3 e denominador \sqrt[3]{x}-1.\n
\;2) O ponto de interesse é x\to 1.\n
\;3) O objetivo é calcular o limite quando x se aproxima de 1.\n

Passo 2

Aplicar substituição direta para ver o tipo do limite: substituir x=1 dá no numerador
1^{2}+2\cdot 1-3 = 1+2-3 = 0,
e no denominador
\sqrt[3]{1}-1 = 1-1 = 0.
Portanto o limite tem forma indeterminada \frac{0}{0}. Isso indica que podemos tentar manipular algebricamente para eliminar o fator que anula numerador e denominador.

Passo 3

Uma boa ideia quando aparece \sqrt[3]{x} é fazer a substituição
t=\sqrt[3]{x},
ou seja
x=t^{3}.
Quando x\to 1 temos t\to 1. Essa mudança é permitida para estudar o limite porque é uma bijeção local contínua entre vizinhanças de 1 (para valores reais). Vamos reescrever a expressão em função de t.

Passo 4

Substituindo x=t^{3} na expressão do limite obtemos
\frac{x^{2}+2x-3}{\sqrt[3]{x}-1} = \frac{t^{6}+2t^{3}-3}{t-1}.
Portanto o limite original é equivalente a
\lim_{t\to 1} \frac{t^{6}+2t^{3}-3}{t-1}.

Passo 5

Agora vamos fatorar o numerador t^{6}+2t^{3}-3. Observa-se que ele pode ser escrito como produto de dois termos:
t^{6}+2t^{3}-3 = (t^{3}-1)(t^{3}+3).
Para ver por que isso vale, basta multiplicar os fatores:
(t^{3}-1)(t^{3}+3)=t^{6}+3t^{3}-t^{3}-3=t^{6}+2t^{3}-3.

Passo 6

O fator t^{3}-1 é uma diferença de cubos. Lembre a fórmula da diferença de cubos:
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Aplicando com a=t e b=1 obtemos
t^{3}-1=(t-1)(t^{2}+t+1).
Substituindo essa fatoração no numerador temos
t^{6}+2t^{3}-3 = (t-1)(t^{2}+t+1)(t^{3}+3).

Passo 7

Voltemos ao quociente. Substituindo a fatoração obtida:
\frac{t^{6}+2t^{3}-3}{t-1} = \frac{(t-1)(t^{2}+t+1)(t^{3}+3)}{t-1}.
Como estamos tratando de um limite para t\to 1 (e não do valor exatamente em t=1), podemos simplificar o fator comum t-1 para t\neq 1, obtendo a função equivalente
(t^{2}+t+1)(t^{3}+3)
para t próximos de 1 mas distintos de 1.

Passo 8

Agora que a indeterminação foi removida, podemos avaliar o limite simplesmente substituindo t=1 na expressão simplificada (pela continuidade dos polinômios):
\lim_{t\to 1} (t^{2}+t+1)(t^{3}+3) = (1^{2}+1+1)(1^{3}+3).

Passo 9

Calcule cada fator:
1^{2}+1+1 = 1+1+1 = 3,
1^{3}+3 = 1+3 = 4.
Multiplicando os dois resultados:
3\cdot 4 = 12.

Resposta

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