Exercício 1. Calcule os seguintes limites (sem usar a Regra de L’Hôspital):
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e o que é pedido:
Temos uma função racional na variável
com numerador
e denominador
.\n
O ponto de interesse é
.\n
O objetivo é calcular o limite quando
se aproxima de
.\n
Passo 2
Aplicar substituição direta para ver o tipo do limite: substituir
dá no numerador
e no denominador
Portanto o limite tem forma indeterminada
. Isso indica que podemos tentar manipular algebricamente para eliminar o fator que anula numerador e denominador.
Passo 3
Uma boa ideia quando aparece
é fazer a substituição
ou seja
Quando
temos
. Essa mudança é permitida para estudar o limite porque é uma bijeção local contínua entre vizinhanças de
(para valores reais). Vamos reescrever a expressão em função de
.
Passo 4
Substituindo
na expressão do limite obtemos
Portanto o limite original é equivalente a
Passo 5
Agora vamos fatorar o numerador
. Observa-se que ele pode ser escrito como produto de dois termos:
Para ver por que isso vale, basta multiplicar os fatores:
Passo 6
O fator
é uma diferença de cubos. Lembre a fórmula da diferença de cubos:
Aplicando com
e
obtemos
Substituindo essa fatoração no numerador temos
Passo 7
Voltemos ao quociente. Substituindo a fatoração obtida:
Como estamos tratando de um limite para
(e não do valor exatamente em
), podemos simplificar o fator comum
para
, obtendo a função equivalente
para
próximos de
mas distintos de
.
Passo 8
Agora que a indeterminação foi removida, podemos avaliar o limite simplesmente substituindo
na expressão simplificada (pela continuidade dos polinômios):
Passo 9
Calcule cada fator:
Multiplicando os dois resultados: