Exercício 1. Calcule os seguintes limites (sem usar a Regra de L’Hôspital):
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{36-4 x^{2}}{2 x^{2}+7 x+3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to -3} \frac{36-4x^{2}}{2x^{2}+7x+3}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador é o polinômio 36-4x^{2}.
  • O denominador é o polinômio 2x^{2}+7x+3.
  • É um limite quando x tende para -3, ou seja, estamos interessados no comportamento da expressão quando x se aproxima de -3.

Passo 2

Primeira verificação direta (informação útil): substituir x=-3 nas duas partes para ver se a forma é indeterminada.
36-4(-3)^{2}=36-4\cdot 9=36-36=0,
2(-3)^{2}+7(-3)+3=2\cdot9-21+3=18-21+3=0.
Logo a substituição direta dá a forma 0/0, que é indeterminada. Isso indica que provavelmente há um fator comum em numerador e denominador que podemos cancelar — então vamos fatorar os polinômios.

Passo 3

Fatorar o numerador. Vou mostrar passo a passo e explicar a fórmula usada.
Usamos a propriedade de diferença de quadrados:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
No numerador temos 36-4x^{2}. Primeiro fator comum 4:
36-4x^{2}=4(9-x^{2}).
Agora aplicamos a diferença de quadrados em 9-x^{2}, escrevendo 9=(3)^{2} e x^{2}=(x)^{2}:
9-x^{2}=(3-x)(3+x).
Portanto
36-4x^{2}=4(3-x)(3+x).
Observação: 3+x é a mesma coisa que x+3.

Passo 4

Fatorar o denominador. O denominador é 2x^{2}+7x+3. Vou usar o método de “ac” (ou decomposição do termo do meio) que funciona bem quando o coeficiente do x^{2} não é 1:
  1. Multiplico a por c: a\cdot c=2\cdot 3=6.
  2. Procuro dois números cujo produto é 6 e cuja soma é b=7. Esses números são 6 e 1.
  3. Decomponho o termo 7x em 6x + 1x:
2x^{2}+7x+3 = 2x^{2}+6x+x+3.
  1. Agrupo:
2x^{2}+6x+x+3 = 2x(x+3)+1(x+3) = (2x+1)(x+3).
Logo
2x^{2}+7x+3=(2x+1)(x+3).

Passo 5

Reescrever a fração com as fatorações encontradas:
\frac{36-4x^{2}}{2x^{2}+7x+3} = \frac{4(3-x)(3+x)}{(2x+1)(x+3)}.
Como 3+x=x+3, podemos cancelar o fator (x+3) do numerador com o (x+3) do denominador — atenção: essa cancelamento é válido para x\neq -3. Para a questão do limite isso é justamente o que queremos: o limite depende do comportamento quando x se aproxima de -3 (não do valor no ponto). Assim a expressão para x\neq -3 é igual a
\frac{4(3-x)}{2x+1}.
Comentário didático: quando a substituição direta dá 0/0, isso indica que existe um fator comum que causa uma descontinuidade removível; após cancelar esse fator, a função simplificada é contínua perto do ponto e o limite é simplesmente o valor da função simplificada no ponto.

Passo 6

Agora avaliamos a expressão simplificada quando x\to -3. Substituindo x=-3 em \dfrac{4(3-x)}{2x+1}:
\text{numerador: }4(3-(-3))=4(6)=24,
\text{denominador: }2(-3)+1=-6+1=-5.
Portanto o limite é
\frac{24}{-5}=-\frac{24}{5}.

Resposta

-\dfrac{24}{5}

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