Exercício 1. Calcule os seguintes limites (sem usar a Regra de L’Hôspital):
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes fornecidas:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - É um limite quando
tende para , ou seja, estamos interessados no comportamento da expressão quando se aproxima de .
Passo 2
Primeira verificação direta (informação útil): substituir
nas duas partes para ver se a forma é indeterminada.
Logo a substituição direta dá a forma
, que é indeterminada. Isso indica que provavelmente há um fator comum em numerador e denominador que podemos cancelar — então vamos fatorar os polinômios.
Passo 3
Fatorar o numerador. Vou mostrar passo a passo e explicar a fórmula usada.
Usamos a propriedade de diferença de quadrados:
No numerador temos
. Primeiro fator comum
:
Agora aplicamos a diferença de quadrados em
, escrevendo
e
:
Portanto
Observação:
é a mesma coisa que
.
Passo 4
Fatorar o denominador. O denominador é
. Vou usar o método de “ac” (ou decomposição do termo do meio) que funciona bem quando o coeficiente do
não é
:
- Multiplico
por : . - Procuro dois números cujo produto é
e cuja soma é . Esses números são e . - Decomponho o termo
em :
- Agrupo:
Logo
Passo 5
Reescrever a fração com as fatorações encontradas:
Como
, podemos cancelar o fator
do numerador com o
do denominador — atenção: essa cancelamento é válido para
. Para a questão do limite isso é justamente o que queremos: o limite depende do comportamento quando
se aproxima de
(não do valor no ponto). Assim a expressão para
é igual a
Comentário didático: quando a substituição direta dá
, isso indica que existe um fator comum que causa uma descontinuidade removível; após cancelar esse fator, a função simplificada é contínua perto do ponto e o limite é simplesmente o valor da função simplificada no ponto.
Passo 6
Agora avaliamos a expressão simplificada quando
. Substituindo
em
:
Portanto o limite é