Exercício 1. Calcule os seguintes limites (sem usar a Regra de L’Hôspital):
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
está definida quando
, e queremos a aproximação de
para
(que está dentro do domínio). Não é permitido usar a Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Verificamos a substituição direta para ver se o limite é imediato. Substituindo
em cima e embaixo:
Ou seja, obtemos a forma indeterminada
. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas pela substituição; precisamos simplificar a expressão antes de tomar o limite.
Passo 3
Uma técnica clássica para eliminar raízes no denominador é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de
é
. A ideia usa a identidade
que elimina a raiz quando
e
.
Passo 4
Aplicamos a multiplicação por
(válida para
próximo de
, com
, pois é multiplicar por
):
Usando a identidade do passo anterior no denominador:
Portanto, para
a expressão simplifica-se a
Passo 5
Agora que simplificamos, para
próximo de
(exceto possivelmente em
onde a expressão original não está definida) temos igualdade com a função
. Essa função é contínua em
, então o limite quando
é simplesmente o valor da função em
: