Exercício 1. Calcule os seguintes limites (sem usar a Regra de L’Hôspital):
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sqrt{x+4}-2}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sqrt{x+4}-2}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\sqrt{x+4} está definida quando x\ge -4, e queremos a aproximação de x para 0 (que está dentro do domínio). Não é permitido usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Verificamos a substituição direta para ver se o limite é imediato. Substituindo x=0 em cima e embaixo:
\text{numerador }=0,\qquad \text{denominador }=\sqrt{0+4}-2=\sqrt{4}-2=2-2=0.
Ou seja, obtemos a forma indeterminada \frac{0}{0}. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas pela substituição; precisamos simplificar a expressão antes de tomar o limite.

Passo 3

Uma técnica clássica para eliminar raízes no denominador é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de \sqrt{x+4}-2 é \sqrt{x+4}+2. A ideia usa a identidade
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2},
que elimina a raiz quando a=\sqrt{x+4} e b=2.

Passo 4

Aplicamos a multiplicação por \dfrac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2} (válida para x próximo de 0, com x\neq 0, pois é multiplicar por 1):
\frac{x}{\sqrt{x+4}-2}\cdot\frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2} = \frac{x\bigl(\sqrt{x+4}+2\bigr)}{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}.
Usando a identidade do passo anterior no denominador:
(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)=(\sqrt{x+4})^{2}-2^{2}=x+4-4=x.
Portanto, para x\neq 0 a expressão simplifica-se a
\frac{x\bigl(\sqrt{x+4}+2\bigr)}{x}=\sqrt{x+4}+2.

Passo 5

Agora que simplificamos, para x próximo de 0 (exceto possivelmente em 0 onde a expressão original não está definida) temos igualdade com a função \sqrt{x+4}+2. Essa função é contínua em x=0, então o limite quando x\to 0 é simplesmente o valor da função em 0:
\lim_{x\to 0}\bigl(\sqrt{x+4}+2\bigr)=\sqrt{0+4}+2=\sqrt{4}+2=2+2=4.

Resposta

4

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