Exercício 1. Calcule os seguintes limites (sem usar a Regra de L’Hôspital):
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{1-2 / x}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado fornece a expressão e pede o limite quando x tende a 2:
\lim_{x\to 2} \frac{1-\tfrac{2}{x}}{x^{2}-4}.
Informações relevantes dadas:
  • A função a ser analisada é a razão \dfrac{1-\tfrac{2}{x}}{x^{2}-4}.
  • Queremos o valor do limite quando x se aproxima de 2.
  • Não devemos usar a Regra de L’Hôpital (ou seja, vamos simplificar algebraicamente).

Passo 2

Simplifico o numerador 1-\tfrac{2}{x} colocando em denominador comum. Como 1=\dfrac{x}{x}, temos:
1-\tfrac{2}{x}=\dfrac{x}{x}-\dfrac{2}{x}=\dfrac{x-2}{x}.

Passo 3

Fatoro o denominador x^{2}-4 usando a identidade da diferença de quadrados a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). Aqui a=x e b=2, então:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).

Passo 4

Substituo as expressões fatoradas na fração original:
\frac{1-\tfrac{2}{x}}{x^{2}-4}=\frac{\dfrac{x-2}{x}}{(x-2)(x+2)}.
Escrevendo como produto (dividir por algo é multiplicar pelo recíproco):
\frac{\dfrac{x-2}{x}}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{x-2}{x}\cdot \dfrac{1}{(x-2)(x+2)}.
Como estamos estudando o limite quando x\to2, para x\neq2 podemos cancelar o fator comum (x-2). Após o cancelamento obtemos:
\frac{1-\tfrac{2}{x}}{x^{2}-4}=\frac{1}{x(x+2)},\qquad \text{para } x\neq 2.
Observação didática: cancelar um fator que é zero exatamente em x=2 é permitido na expressão para x\neq2; o limite considera valores próximos de 2 mas não necessariamente 2 em si.

Passo 5

Agora uso a continuidade do racional resultante. A função h(x)=\dfrac{1}{x(x+2)} é uma função racional que é contínua em todos os pontos onde o denominador é diferente de zero. Em particular, no ponto x=2 o denominador vale 2(2+2)=8\neq0, então h é contínua em x=2. Portanto:
\lim_{x\to 2}\frac{1-\tfrac{2}{x}}{x^{2}-4}=\lim_{x\to 2}\frac{1}{x(x+2)}=\frac{1}{2(2+2)}.
Calculo final:
\frac{1}{2(2+2)}=\frac{1}{2\cdot 4}=\frac{1}{8}.

Resposta

\dfrac{1}{8}

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