Exercício 1. Calcule os seguintes limites (sem usar a Regra de L’Hôspital):
Passo 1
O enunciado fornece a expressão e pede o limite quando
tende a
:
Informações relevantes dadas:
- A função a ser analisada é a razão
. - Queremos o valor do limite quando
se aproxima de . - Não devemos usar a Regra de L’Hôpital (ou seja, vamos simplificar algebraicamente).
Passo 2
Simplifico o numerador
colocando em denominador comum. Como
, temos:
Passo 3
Fatoro o denominador
usando a identidade da diferença de quadrados
. Aqui
e
, então:
Passo 4
Substituo as expressões fatoradas na fração original:
Escrevendo como produto (dividir por algo é multiplicar pelo recíproco):
Como estamos estudando o limite quando
, para
podemos cancelar o fator comum
. Após o cancelamento obtemos:
Observação didática: cancelar um fator que é zero exatamente em
é permitido na expressão para
; o limite considera valores próximos de
mas não necessariamente
em si.
Passo 5
Agora uso a continuidade do racional resultante. A função
é uma função racional que é contínua em todos os pontos onde o denominador é diferente de zero. Em particular, no ponto
o denominador vale
, então
é contínua em
. Portanto:
Calculo final: