Exercício 3 Calcule a soma das séries convergentes
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a soma da série infinita
Informações dadas:
O objetivo é escrever essa soma de forma que eu consiga avaliar a soma infinita explicitamente.
Passo 2
Primeiro vou manipular o expoente para simplificar a expressão do termo geral. Uso a propriedade de potências
aplicada a
,
e
. Assim
Passo 3
Agora calculo cada fator. Como
, temos
E
Multiplicando,
Portanto o termo geral fica
Passo 4
Com isso a série original é
Ou seja, a soma reduz-se a uma constante multiplicando uma série geométrica de razão
. Lembrete da fórmula da soma de uma série geométrica: se
então
onde
é o primeiro termo (quando a soma começa em
) e
é a razão. Aqui temos razão
e
, então podemos usar esse resultado.
Passo 5
Vou calcular
. Uma forma simples é usar a soma completa a partir de
e subtrair os três primeiros termos:
Os três primeiros termos são
Calculando essa soma:
Logo
Passo 6
Faço a subtração com denominador comum
:
então
Portanto
Passo 7
Retorno à soma original multiplicando pelo fator
:
Simplifico a fração dividindo numerador e denominador por
:
portanto o resultado é
Passo 8
Verificação numérica rápida (para me deixar mais confiante): os primeiros termos da série são, para
,
A soma parcial até
é
, que já está perto de
. Isso confirma coerência com o valor exato encontrado.