Exercício 2: Mostre que
é decrescente.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
(para
,
) e pede para mostrarmos que ela é decrescente.
Informações relevantes que temos: o termo geral e que
é a base dos logaritmos naturais (um número real fixo aproximadamente
).
A pergunta específica é: provar que, para todo , vale
(decrescente estritamente).
Informações relevantes que temos: o termo geral
A pergunta específica é: provar que, para todo
Passo 2
Definição que vamos usar (explicada sem jargão): dizer que a sequência
é decrescente estritamente significa que cada termo seguinte é menor que o anterior, ou seja, para todo
,
Uma maneira muito prática de testar isso é calcular a razão entre termos consecutivos
. Se essa razão for sempre menor que
, então
e a sequência é estritamente decrescente.
Passo 3
Vamos calcular a razão entre termos consecutivos e explicar passo a passo a álgebra:
Para dividir duas frações, multiplicamos pela recíproca da segunda:
Agora simplificamos
com
e
com
:
Escrevendo de forma mais clara:
Passo 4
Agora precisamos mostrar que essa razão é menor que
, isto é,
Isso equivale a
Vamos comparar os dois lados. Para
temos
Então basta ver que
. Para justificar que
(e até mostrar que é maior que
), usamos a expansão conhecida
Tomando só os três primeiros termos já obtemos
Portanto
, e assim para todo
vale
Logo
ou seja,
Isto implica
para todo
. Portanto a sequência é estritamente decrescente.
Passo 5
Para fixar a ideia, um cheque numérico rápido:
que mostram os termos efetivamente caindo.
Observação alternativa (opcional): considerar a função
. Calculando a derivada,
vemos que
para
, então
é decrescente em
. Como
, os valores da função nos inteiros formam uma sequência decrescente. Essa é outra forma, via cálculo, de obter o mesmo resultado.
Resposta
A sequência
é estritamente decrescente para todo
.