Exercício 3 Calcule a soma das séries convergentes
\sum_{m=3}^{\infty} \frac{\pi}{(-2)^{2 m-7}}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a soma da série infinita
\sum_{m=3}^{\infty} \frac{\pi}{(-2)^{2 m-7}}.
Informações dadas:
\text{índice: } m=3,4,5,\dotsí
\text{termo geral: } \frac{\pi}{(-2)^{2m-7}}.
O objetivo é escrever essa soma de forma que eu consiga avaliar a soma infinita explicitamente.

Passo 2

Primeiro vou manipular o expoente para simplificar a expressão do termo geral. Uso a propriedade de potências
a^{u+v}=a^{u}\,a^{v},
aplicada a a=(-2), u=2m e v=-7. Assim
(-2)^{2m-7}=(-2)^{2m}\,(-2)^{-7}.

Passo 3

Agora calculo cada fator. Como (-2)^{2}=4, temos
(-2)^{2m} = \big((-2)^{2}\big)^{m} = 4^{m}.
E
(-2)^{-7}=\frac{1}{(-2)^{7}}=\frac{1}{-128}=-\frac{1}{128}.
Multiplicando,
(-2)^{2m-7}=4^{m}\cdot\left(-\frac{1}{128}\right) = -\frac{4^{m}}{128}.
Portanto o termo geral fica
\frac{\pi}{(-2)^{2m-7}}=\frac{\pi}{-\dfrac{4^{m}}{128}}=-\frac{128\pi}{4^{m}}.

Passo 4

Com isso a série original é
\sum_{m=3}^{\infty} \frac{\pi}{(-2)^{2m-7}} = \sum_{m=3}^{\infty} \left(-\frac{128\pi}{4^{m}}\right) = -128\pi \sum_{m=3}^{\infty} \frac{1}{4^{m}}.
Ou seja, a soma reduz-se a uma constante multiplicando uma série geométrica de razão r=\dfrac{1}{4}. Lembrete da fórmula da soma de uma série geométrica: se |r|<1 então
\sum_{n=0}^{\infty} ar^{n}=\frac{a}{1-r},
onde a é o primeiro termo (quando a soma começa em n=0) e r é a razão. Aqui temos razão r=\dfrac{1}{4} e |r|<1, então podemos usar esse resultado.

Passo 5

Vou calcular \displaystyle \sum_{m=3}^{\infty} \frac{1}{4^{m}}. Uma forma simples é usar a soma completa a partir de m=0 e subtrair os três primeiros termos:
\sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{4^{m}}=\frac{1}{1-\tfrac{1}{4}}=\frac{1}{\tfrac{3}{4}}=\frac{4}{3}.
Os três primeiros termos são
\frac{1}{4^{0}}+\frac{1}{4^{1}}+\frac{1}{4^{2}} = 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}.
Calculando essa soma:
1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}=\frac{16}{16}+\frac{4}{16}+\frac{1}{16}=\frac{21}{16}.
Logo
\sum_{m=3}^{\infty} \frac{1}{4^{m}} = \frac{4}{3}-\frac{21}{16}.

Passo 6

Faço a subtração com denominador comum 48:
\frac{4}{3}=\frac{64}{48},\qquad \frac{21}{16}=\frac{63}{48},
então
\frac{4}{3}-\frac{21}{16}=\frac{64}{48}-\frac{63}{48}=\frac{1}{48}.
Portanto
\sum_{m=3}^{\infty} \frac{1}{4^{m}}=\frac{1}{48}.

Passo 7

Retorno à soma original multiplicando pelo fator -128\pi:
-128\pi \cdot \frac{1}{48} = -\frac{128}{48}\pi.
Simplifico a fração dividindo numerador e denominador por 16:
\frac{128}{48}=\frac{8}{3},
portanto o resultado é
-\frac{8\pi}{3}.

Passo 8

Verificação numérica rápida (para me deixar mais confiante): os primeiros termos da série são, para m=3,4,5,\dots,
-2\pi,\; -\frac{\pi}{2},\; -\frac{\pi}{8},\; -\frac{\pi}{32},\dots
A soma parcial até m=5 é -2\pi-\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{8}=-2{,}625\pi, que já está perto de -\tfrac{8\pi}{3}\approx -2{,}666\dots\pi. Isso confirma coerência com o valor exato encontrado.

Resposta

-\frac{8\pi}{3}

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