Exercício 3 Calcule a soma das séries convergentes
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série
Informações dadas:
O termo geral da série é
.
A soma pedida seria
, caso a série convergisse.
O que precisamos decidir primeiro é se a série converge; só então faz sentido calcular uma soma finita.
O que precisamos decidir primeiro é se a série converge; só então faz sentido calcular uma soma finita.
Passo 2
Vamos separar a expressão do termo geral por linearidade (isto é, somar duas séries):
Definimos
A série original é
quando ambas convergirem (ou pode divergir se uma delas divergir). Neste passo estamos preparando o caminho para testar cada uma.
Passo 3
Aplicamos o teste necessário de convergência (teste do termo geral): se uma série
converge, então
. Calculamos o limite do termo geral
:
Observações:
é limitado entre
e
, então
Somando os limites (já que existem),
Passo 4
Pelo teste do termo geral, como
, a série
não pode convergir. Portanto a série diverge (não existe soma finita).
Passo 5
Para consolidar o entendimento e aproveitar o exercício como treino, comento que a parte oscilante
é uma série convergente (ela converge condicionalmente). Uma aplicação clássica de séries de Fourier mostra que, para
,
Tomando
(que está em
), obtém-se
Como o termo
é
, segue
Mesmo assim, apesar de
convergir, a outra parte
diverge, e isso determina a divergência da série original.
Resposta
A série diverge.