Exercício 3 Calcule a soma das séries convergentes
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(2 n+1)+n}{2 n+1}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(2n+1)+n}{2n+1}.
Informações dadas:
\bullet O termo geral da série é a_n=\dfrac{\operatorname{sen}(2n+1)+n}{2n+1}.
\bullet A soma pedida seria \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n, caso a série convergisse.
O que precisamos decidir primeiro é se a série converge; só então faz sentido calcular uma soma finita.

Passo 2

Vamos separar a expressão do termo geral por linearidade (isto é, somar duas séries):
a_n=\frac{\operatorname{sen}(2n+1)}{2n+1}+\frac{n}{2n+1}.
Definimos
S_1=\sum_{n=1}^\infty \frac{\operatorname{sen}(2n+1)}{2n+1}, \qquad S_2=\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2n+1}.
A série original é S_1+S_2 quando ambas convergirem (ou pode divergir se uma delas divergir). Neste passo estamos preparando o caminho para testar cada uma.

Passo 3

Aplicamos o teste necessário de convergência (teste do termo geral): se uma série \sum a_n converge, então \lim_{n\to\infty} a_n=0. Calculamos o limite do termo geral a_n:
\lim_{n\to\infty} a_n =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\operatorname{sen}(2n+1)}{2n+1}+\frac{n}{2n+1}\right).
Observações:
\bullet \operatorname{sen}(2n+1) é limitado entre -1 e 1, então
\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sen}(2n+1)}{2n+1}=0.
\bullet Para a segunda parcela,
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2+1/n}=\frac{1}{2}.
Somando os limites (já que existem),
\lim_{n\to\infty} a_n = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.

Passo 4

Pelo teste do termo geral, como \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\dfrac{1}{2}\neq 0, a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(2n+1)+n}{2n+1}
não pode convergir. Portanto a série diverge (não existe soma finita).

Passo 5

Para consolidar o entendimento e aproveitar o exercício como treino, comento que a parte oscilante
\sum_{n=1}^\infty \frac{\operatorname{sen}(2n+1)}{2n+1}
é uma série convergente (ela converge condicionalmente). Uma aplicação clássica de séries de Fourier mostra que, para 0<x<\pi,
\sum_{k=0}^\infty \frac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}=\frac{\pi}{4}.
Tomando x=1 (que está em (0,\pi)), obtém-se
\sum_{k=0}^\infty \frac{\sin(2k+1)}{2k+1}=\frac{\pi}{4}.
Como o termo k=0 é \dfrac{\sin(1)}{1}, segue
\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(2n+1)}{2n+1}=\frac{\pi}{4}-\sin(1).
Mesmo assim, apesar de S_1 convergir, a outra parte S_2 diverge, e isso determina a divergência da série original.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados