EXERCícIo 4:
Uma carga operando em 2300 Vrms drena 28 Arms com um fator de potência de 0.812 atrasado. Determinar:
b) A potência instantânea em t=2.5 ms assumindo uma freqüência de operação de 60 Hz .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma carga que está operando com uma tensão eficaz ( Vrms) de 2300 V e uma corrente eficaz ( Irms) de 28 A. Além disso, o fator de potência é 0.812 atrasado, e precisamos encontrar a potência instantânea ( p(t)) no instante t = 2.5 ms, considerando uma frequência de operação de 60 Hz.
Matéria envolvida: Circuitos de corrente alternada (AC), potência instantânea, fator de potência.
O que vamos precisar:
  • Entender a relação entre tensão, corrente e fase.
  • Usar fórmulas de potência instantânea.
  • Calcular o ângulo de fase a partir do fator de potência.
  • Aplicar essas informações para encontrar a potência no tempo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é potência instantânea. Em um circuito AC, a potência instantânea p(t) é dada pela multiplicação da tensão instantânea v(t) pela corrente instantânea i(t):
p(t) = v(t) times i(t)

Passo 3

Devemos expressar v(t) e i(t) como funções do tempo. Sabemos que:
  • A tensão eficaz ( Vrms) está relacionada à amplitude máxima da tensão ( Vm) pela fórmula:
    Vrms = Vmraiz2
    Portanto, Vm = Vrms times raiz2 = 2300 times raiz2 V.
  • A corrente eficaz ( Irms) está relacionada à amplitude máxima da corrente ( Im) pela mesma relação:
    Irms = Imraiz2
    Portanto, Im = Irms times raiz2 = 28 times raiz2 A.

Passo 4

Agora, vamos considerar o fator de potência. O fator de potência ( fp) é o cosseno do ângulo de fase ( phi) entre a tensão e a corrente:
fp = cos(phi)
Dado que fp = 0.812, podemos encontrar phi:
phi = arccos(0.812)
Calculando:
phi approx arccos(0.812) approx 35^circ
Como o fator de potência é atrasado, isso indica que a corrente está atrasada em relação à tensão.

Passo 5

Vamos expressar as funções de tensão e corrente no domínio do tempo. Considerando uma frequência de 60 Hz, a frequência angular ( omega) é:
omega = 2pi f = 2pi times 60 approx 376.99 , rad/s
Assim, as funções são:
v(t) = Vm cos(omega t)
i(t) = Im cos(omega t - phi)
Substituindo os valores calculados:
v(t) = 2300 times raiz2 cos(376.99 t)
i(t) = 28 times raiz2 cos(376.99 t - 35^circ)

Passo 6

Agora, vamos multiplicar v(t) por i(t) para encontrar p(t):
p(t) = v(t) times i(t)
p(t) = (2300 times raiz2 cos(376.99 t)) times (28 times raiz2 cos(376.99 t - 35^circ))
Simplificando:
p(t) = 2300 times 28 times 2 times cos(376.99 t) times cos(376.99 t - 35^circ)

Passo 7

Vamos usar a identidade trigonométrica para o produto de cossenos:
cos A cos B = 12 [cos(A + B) + cos(A - B)]
Aplicando isso:
p(t) = 2300 times 28 times 2 times 12 [cos((376.99 t) + (376.99 t - 35^circ)) + cos((376.99 t) - (376.99 t - 35^circ))]
p(t) = 2300 times 28 times [cos(753.98 t - 35^circ) + cos(35^circ)]

Passo 8

Simplificando mais:
p(t) = 64400 times [cos(753.98 t - 35^circ) + cos(35^circ)]
Agora, queremos encontrar p(t) em t = 2.5 ms ( 0.0025 s):
p(0.0025) = 64400 times [cos(753.98 times 0.0025 - 35^circ) + cos(35^circ)]
Calculando 753.98 times 0.0025:
753.98 times 0.0025 = 1.88495 , rad
Convertendo 35^circ para radianos:
35^circ times pi180 approx 0.6109 , rad
Então:
p(0.0025) = 64400 times [cos(1.88495 - 0.6109) + cos(0.6109)]
p(0.0025) = 64400 times [cos(1.27405) + cos(0.6109)]

Passo 9

Calculando os cossenos:
cos(1.27405) approx 0.292
cos(0.6109) approx 0.819
Substituindo:
p(0.0025) = 64400 times [0.292 + 0.819]
p(0.0025) = 64400 times 1.111
p(0.0025) approx 71504 , W

Resposta

A potência instantânea em t = 2.5 ms é aproximadamente 71.504 W.

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