Exercício 2.5 Um circuito defasador (filtro de primeira ordem) possui a seguinte função de transferência:
H(s)=\frac{s-2000}{s+2000}
Classifique o comportamento do ganho desse filtro em relação à frequência (passa-baixas, passa-altas, rejeita-faixa ou passa-tudo) e determine o ângulo de fase para uma entrada com frequência de 2000 \mathrm{rad} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
H(s)=\frac{s-2000}{s+2000}
e pede duas coisas:
  • Classificar o comportamento do ganho do filtro em relação à frequência (escolher entre: passa-baixas, passa-altas, rejeita-faixa ou passa-tudo).
  • Determinar o ângulo de fase quando a entrada tem frequência \,2000\\ \mathrm{rad/s}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O polo/zero estão em \pm 2000 (constante numérica 2000 aparente no numerador e denominador).
  • A entrada de interesse tem frequência \omega=2000\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 2

Primeiro conceito necessário (bem devagar): para estudar resposta em frequência substituímos s por j\omega, porque uma entrada senoidal \cos(\omega t) ou \sin(\omega t) corresponde no domínio de Laplace/Fourier a s=j\omega. Assim a resposta em frequência é dada por
H(j\omega)=\frac{j\omega-2000}{j\omega+2000}.
Explicando: aqui j é a unidade imaginária ( j^2=-1), \omega é a frequência angular em \mathrm{rad/s}. O numerador é o complexo (\text{real}=-2000,\\ \text{imaginário}=\omega)á e o denominador é (\text{real}=+2000,\\ \text{imaginário}=\omega)á.

Passo 3

Agora vamos analisar o módulo (ganho em amplitude) de H(j\omega). A regra para o módulo de um número complexo a+jb é |a+jb|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}. Então:
|H(j\omega)|=\frac{|j\omega-2000|}{|j\omega+2000|} =\frac{\sqrt{(-2000)^{2}+\omega^{2}}}{\sqrt{(2000)^{2}+\omega^{2}}}.
Note que (-2000)^{2}=2000^{2}, logo numerador e denominador têm a mesma raiz quadrada. Portanto, para todo \omega,
|H(j\omega)|=1.

Passo 4

Interpretação didática do resultado do módulo: o ganho em módulo é exatamente 1 para todas as frequências \omega. Isso significa que o filtro não modifica a amplitude das componentes em frequência — ele passa todas as frequências com o mesmo ganho unitário. Esse comportamento tem nome: é um filtro “passa‑tudo” (também chamado de all‑pass). O que muda com \omega não é o módulo, e sim a fase de H(j\omega).
Breve comentário intuitivo: a presença de um zero no semiplano \Re\{s\}<0 e de um polo simétrico no semiplano \Re\{s\}>0 faz com que os módulos se cancelem, enquanto a diferença de ângulo entre zero e polo produz defasamento. Por isso é um defasador de primeira ordem.

Passo 5

Agora vamos calcular a fase de H(j\omega). A fase (argumento) de um quociente é a diferença dos argumentos:
\angle H(j\omega)=\angle(j\omega-2000)-\angle(j\omega+2000).
Em termos de funções arco-tangente (comportamento de quadrante tratado por \operatorname{atan2}):
\angle H(j\omega)=\operatorname{atan2}(\omega,-2000)-\operatorname{atan2}(\omega,2000).
Isto dá a fase geral para qualquer \omega. Para calcular numericamente é prático avaliar em \omega específico ou simplificar a expressão diretamente no valor desejado.

Passo 6

Avaliação em \omega=2000\\ \mathrm{rad/s}. Substituindo \omega=2000 em H(j\omega) obtemos:
H(j2000)=\frac{j\,2000-2000}{j\,2000+2000}=\frac{2000\,(j-1)}{2000\,(j+1)}=\frac{j-1}{j+1}.
Agora simplificamos \dfrac{j-1}{j+1}. Uma forma direta é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador (j-1):
\frac{j-1}{j+1}\cdot\frac{j-1}{j-1}=\frac{(j-1)^{2}}{(j+1)(j-1)}=\frac{j^{2}-2j+1}{j^{2}-1}.
Como j^{2}=-1, isso vira
\frac{-1-2j+1}{-1-1}=\frac{-2j}{-2}=j.
Portanto H(j2000)=j. O número complexo j tem módulo 1 (confirmando o all‑pass) e ângulo \dfrac{\pi}{2} radianos (ou 90^\circ).
Interpretação final e motivação prática: nessa frequência o filtro introduz um avanço de fase de +90^\circ (ou defasamento positivo de \pi/2 rad), sem atenuar a amplitude.

Resposta

Passa‑tudo (filtro all‑pass): ganho em módulo 1 para todas as frequências.
Ângulo de fase em \omega=2000\\ \mathrm{rad/s}: \dfrac{\pi}{2} rad =\\\ 90^\circ.

Exercícios relacionados