Exercício 2.5 Um circuito defasador (filtro de primeira ordem) possui a seguinte função de transferência:
Classifique o comportamento do ganho desse filtro em relação à frequência (passa-baixas, passa-altas, rejeita-faixa ou passa-tudo) e determine o ângulo de fase para uma entrada com frequência de
.
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
e pede duas coisas:
- Classificar o comportamento do ganho do filtro em relação à frequência (escolher entre: passa-baixas, passa-altas, rejeita-faixa ou passa-tudo).
- Determinar o ângulo de fase quando a entrada tem frequência
.
Informações relevantes fornecidas:
- O polo/zero estão em
(constante numérica aparente no numerador e denominador). - A entrada de interesse tem frequência
.
Passo 2
Primeiro conceito necessário (bem devagar): para estudar resposta em frequência substituímos
por
, porque uma entrada senoidal
ou
corresponde no domínio de Laplace/Fourier a
. Assim a resposta em frequência é dada por
Explicando: aqui
é a unidade imaginária (
),
é a frequência angular em
. O numerador é o complexo
e o denominador é
.
Passo 3
Agora vamos analisar o módulo (ganho em amplitude) de
. A regra para o módulo de um número complexo
é
. Então:
Note que
, logo numerador e denominador têm a mesma raiz quadrada. Portanto, para todo
,
Passo 4
Interpretação didática do resultado do módulo: o ganho em módulo é exatamente
para todas as frequências
. Isso significa que o filtro não modifica a amplitude das componentes em frequência — ele passa todas as frequências com o mesmo ganho unitário. Esse comportamento tem nome: é um filtro “passa‑tudo” (também chamado de all‑pass). O que muda com
não é o módulo, e sim a fase de
.
Breve comentário intuitivo: a presença de um zero no semiplano
e de um polo simétrico no semiplano
faz com que os módulos se cancelem, enquanto a diferença de ângulo entre zero e polo produz defasamento. Por isso é um defasador de primeira ordem.
Passo 5
Agora vamos calcular a fase de
. A fase (argumento) de um quociente é a diferença dos argumentos:
Em termos de funções arco-tangente (comportamento de quadrante tratado por
):
Isto dá a fase geral para qualquer
. Para calcular numericamente é prático avaliar em
específico ou simplificar a expressão diretamente no valor desejado.
Passo 6
Avaliação em
. Substituindo
em
obtemos:
Agora simplificamos
. Uma forma direta é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador
:
Como
, isso vira
Portanto
. O número complexo
tem módulo
(confirmando o all‑pass) e ângulo
radianos (ou
).
Interpretação final e motivação prática: nessa frequência o filtro introduz um avanço de fase de
(ou defasamento positivo de
rad), sem atenuar a amplitude.
Resposta
Passa‑tudo (filtro all‑pass): ganho em módulo
para todas as frequências.
Ângulo de fase em :
rad
.
Ângulo de fase em