Exercício 2.3 Demonstre analiticamente que a defasagem introduzida por um filtro passa-altas R C de primeira ordem na sua frequência de corte é exatamente +45^{\circ}.
Passo 1
O enunciado pede: demonstrar analiticamente que a defasagem (fase) introduzida por um filtro passa-altas RC de primeira ordem, na sua frequência de corte, é exatamente +45^\circ.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
O filtro é o passa-altas simples formado por um capacitor C em série com uma resistência R, com a saída tomada sobre R.
É um circuito de primeira ordem (apenas R e C).
Precisa-se avaliar a fase na frequência de corte do filtro.
Passo 2
Vou escrever as impedâncias dos elementos e explicar o que cada símbolo significa.
Impedância do capacitor: \displaystyle Z_C=\frac{1}{j\omega C}.
Aqui j é a unidade imaginária (j^2=-1) usada em circuitos (mesmo papel de i na matemática).
\omega é a frequência angular, em rad/s.
C é a capacitância.
Impedância da resistência: \displaystyle Z_R=R.
Essas expressões vêm da lei de Ohm generalizada para números complexos: tensão = corrente \times impedância.
Passo 3
Aplicando o divisor de tensão para a saída (tensão sobre R):
Definição da frequência de corte: a frequência de corte angular \omega_c do filtro RC é
\omega_c=\frac{1}{RC},
ou seja, quando \omega=\omega_c temos x=\omega RC=1. (Interpretação curta: na frequência de corte a magnitude de H vale 1/\sqrt{2} do valor máximo de banda passante; vou mostrar isso rapidamente para conectar com a definição.)
Assim a parte real é \displaystyle \operatorname{Re}(H)=\frac{x^2}{1+x^2} e a parte imaginária é \displaystyle \operatorname{Im}(H)=\frac{x}{1+x^2}. Como ambas são positivas para x>0, a fase é
Note que as duas formas são consistentes porque \arctan(1/x)=90^\circ-\arctan(x) para x>0.
Passo 6
Interpretação física curta e encorajamento: a fase positiva +45^\circ em \omega_c significa que, nessa frequência, a tensão de saída está adiantada em 45^\circ em relação à entrada — típico do comportamento passa-altas que tende a +90^\circ em altas frequências e a 0^\circ em baixas frequências. Pronto — mostrado analiticamente.