Exercício 2.3 Demonstre analiticamente que a defasagem introduzida por um filtro passa-altas R C de primeira ordem na sua frequência de corte é exatamente +45^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede: demonstrar analiticamente que a defasagem (fase) introduzida por um filtro passa-altas RC de primeira ordem, na sua frequência de corte, é exatamente +45^\circ.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • O filtro é o passa-altas simples formado por um capacitor C em série com uma resistência R, com a saída tomada sobre R.
  • É um circuito de primeira ordem (apenas R e C).
  • Precisa-se avaliar a fase na frequência de corte do filtro.

Passo 2

Vou escrever as impedâncias dos elementos e explicar o que cada símbolo significa.
  • Impedância do capacitor: \displaystyle Z_C=\frac{1}{j\omega C}.
    • Aqui j é a unidade imaginária ( j^2=-1) usada em circuitos (mesmo papel de i na matemática).
    • \omega é a frequência angular, em rad/s.
    • C é a capacitância.
  • Impedância da resistência: \displaystyle Z_R=R.
Essas expressões vêm da lei de Ohm generalizada para números complexos: tensão = corrente \times impedância.

Passo 3

Aplicando o divisor de tensão para a saída (tensão sobre R):
\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}=\frac{Z_R}{Z_C+Z_R}.
Substituindo as impedâncias:
\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}} =\frac{R}{\dfrac{1}{j\omega C}+R} =\frac{R}{\dfrac{1+j\omega RC}{j\omega C}} =\frac{j\omega RC}{1+j\omega RC}.
Defino uma variável adimensional útil \displaystyle x=\omega RC. Assim a função de transferência em regime senoidal fica:
H(j\omega)=\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}=\frac{j x}{1+j x}.

Passo 4

Definição da frequência de corte: a frequência de corte angular \omega_c do filtro RC é
\omega_c=\frac{1}{RC},
ou seja, quando \omega=\omega_c temos x=\omega RC=1. (Interpretação curta: na frequência de corte a magnitude de H vale 1/\sqrt{2} do valor máximo de banda passante; vou mostrar isso rapidamente para conectar com a definição.)
Calcule a magnitude geral de H. Com x=\omega RC:
|H(j\omega)|=\left|\frac{j x}{1+j x}\right|=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.
Em x=1 isso dá
|H(j\omega_c)|=\frac{1}{\sqrt{1+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}},
confirmando que x=1 é realmente a frequência de corte.

Passo 5

Agora vamos calcular a fase (argumento) de H(j\omega). Vou mostrar duas formas equivalentes — escolhe a que achar mais clara.
Método A — diferença de argumentos:
  • \arg(jx)=+90^\circ (porque jx é um número puramente imaginário positivo).
  • \arg(1+jx)=\arctan\!\left(\dfrac{x}{1}\right)=\arctan(x) (pois o número complexo (1+jx) tem parte real 1 e parte imaginária x).
Logo
\varphi(\omega)=\arg\big(H(j\omega)\big)=\arg(jx)-\arg(1+jx)=90^\circ-\arctan(x).
Em x=1 (ou seja, \omega=\omega_c):
\varphi(\omega_c)=90^\circ-\arctan(1)=90^\circ-45^\circ=45^\circ.
Método B — separar parte real e imaginária (álgebra completa):
Multiplico numerador e denominador por 1-jx (conjugado do denominador):
H=\frac{jx}{1+jx}\cdot\frac{1-jx}{1-jx}=\frac{jx(1-jx)}{1+x^2}.
Desenvolvendo o numerador:
jx(1-jx)=jx - j^2 x^2 = jx + x^2.
Portanto
H=\frac{x^2}{1+x^2} + j\frac{x}{1+x^2}.
Assim a parte real é \displaystyle \operatorname{Re}(H)=\frac{x^2}{1+x^2} e a parte imaginária é \displaystyle \operatorname{Im}(H)=\frac{x}{1+x^2}. Como ambas são positivas para x>0, a fase é
\varphi(\omega)=\arctan\!\left(\frac{\operatorname{Im}(H)}{\operatorname{Re}(H)}\right) =\arctan\!\left(\frac{\dfrac{x}{1+x^2}}{\dfrac{x^2}{1+x^2}}\right) =\arctan\!\left(\frac{1}{x}\right).
Em x=1:
\varphi(\omega_c)=\arctan(1)=45^\circ.
Note que as duas formas são consistentes porque \arctan(1/x)=90^\circ-\arctan(x) para x>0.

Passo 6

Interpretação física curta e encorajamento: a fase positiva +45^\circ em \omega_c significa que, nessa frequência, a tensão de saída está adiantada em 45^\circ em relação à entrada — típico do comportamento passa-altas que tende a +90^\circ em altas frequências e a 0^\circ em baixas frequências. Pronto — mostrado analiticamente.

Resposta

+45^\circ

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