Exercício 2.4 Considere um filtro passa-baixas RC série, onde a saída é obtida sobre o capacitor. Se a frequência do sinal de entrada for dez vezes maior que a frequência de corte \left(f=10 f_{c}\right), qual será a atenuação em decibéis (d B) introduzida pelo filtro em relação ao ganho na banda de passagem?

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pede-se a atenuação, em decibéis, introduzida por um filtro passa-baixas RC série quando a frequência de entrada é f=10\,f_{c}, em relação ao ganho na banda de passagem.
  • Informação dada: f=10\,f_{c}. Não há outros números numéricos necessários porque a relação entre f e f_{c} é suficiente.

Passo 2

Escrevendo a função de transferência do filtro RC passa-baixas (saída no capacitor).
  • Em regime senoidal com numero complexo angular \jmath\omega, a impedância do capacitor é Z_C=\dfrac{1}{\jmath\omega C} e a do resistor é R.
  • O divisor de tensão dá a função de transferência (ganho complexo) entre entrada V_{in} e saída sobre o capacitor V_{out}:
H(\jmath\omega)=\frac{Z_C}{R+Z_C}=\frac{\dfrac{1}{\jmath\omega C}}{R+\dfrac{1}{\jmath\omega C}}=\frac{1}{1+\jmath\omega RC}.
  • Aqui:
    • \omega=2\pi f é a frequência angular da entrada,
    • R e C são os componentes do filtro,
    • RC tem dimensão de tempo e \omega RC é adimensional.

Passo 3

Relação entre frequência de corte e RC.
  • A frequência de corte (–3 dB) do filtro é
f_{c}=\frac{1}{2\pi RC}.
  • Em termos angulares \omega_{c}=2\pi f_{c}=\dfrac{1}{RC}, portanto
\omega RC=\frac{\omega}{\omega_{c}}=\frac{f}{f_{c}}.
  • Isso simplifica expressões: usar \dfrac{f}{f_{c}} no lugar de \omega RC.

Passo 4

Magnitude do ganho e substituição de f=10\,f_{c}.
  • A magnitude do ganho é
|H(\jmath\omega)|=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\dfrac{f}{f_{c}}\right)^{2}}}.
  • Substituindo f=10\,f_{c}:
|H|=\frac{1}{\sqrt{1+10^{2}}=\sqrt{1+100}}=\frac{1}{\sqrt{101}}.
  • Numericament e, \sqrt{101}\approx10,0499, logo |H|\approx0,0995 (aproximadamente um décimo).

Passo 5

Converter o ganho em decibéis (dB).
  • A conversão de ganho em tensão para decibéis é
G_{dB}=20\log_{10}\bigl(|H|\bigr).
  • Aplicando |H|=1/\sqrt{101}:
G_{dB}=20\log_{10}\!\left(\frac{1}{\sqrt{101}}\right)=20\left(-\tfrac{1}{2}\log_{10}(101)\right)=-10\log_{10}(101).
  • Calcular \log_{10}(101). Sabendo \log_{10}(100)=2 e \log_{10}(1,01)\approx0,004321, temos \log_{10}(101)=\log_{10}(100\cdot1,01)=2+0,004321\approx2,004321.
  • Portanto
G_{dB}\approx -10\times2,004321=-20,04321\\ \text{dB}.

Passo 6

Interpretação física e atalho de prova (regra prática).
  • Um filtro RC de primeira ordem tem declive assimptótico de -20\\ \text{dB/dec} para frequências bem acima de f_{c}. Uma década (fator 10) acima de f_{c} produz cerca de -20\\ \text{dB}, o que confirma o cálculo preciso de -20,04\\ \text{dB}.
  • Em outras palavras: a tensão na saída fica praticamente um décimo da tensão em entrada na banda de rejeição a uma década acima de f_{c}, correspondendo a cerca de -20\\ \text{dB}.

Resposta

-20,04\\ \text{dB}

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