Exercício 6. No circuito a seguir, com fonte E=30 \mathrm{~V}, R_{1}=1 \mathrm{k} \Omega, R_{2}=2 \mathrm{k} \Omega e R_{3}=3 \mathrm{k} \Omega em série, escolha o nó entre R_{2} e R_{3} como referência (terra). Determine os potenciais dos demais nós em relação a essa referência.

Passo 1

O enunciado dá um circuito com três resistores em série e uma fonte:
  • E=30\\ \mathrm{V}
  • R_{1}=1\\ \mathrm{k}\Omega
  • R_{2}=2\\ \mathrm{k}\Omega
  • R_{3}=3\\ \mathrm{k}\Omega
Foi pedido: escolher o nó entre R_{2} e R_{3} como referência (terra) e determinar os potenciais dos demais nós em relação a essa referência.
Informações relevantes listadas:
  • Os três resistores estão em série, isto é, a mesma corrente percorre R_{1},R_{2},R_{3}.
  • O nó entre R_{2} e R_{3} vale 0\\ \mathrm{V} (referência).
  • Devem ser encontrados os potenciais dos outros nós (os pontos de ligação entre os componentes, por exemplo o nó entre R_{1} e R_{2}, os terminais da fonte, etc.) em relação a essa referência.

Passo 2

Vamos escolher um sentido de corrente e explicar a ideia física e a fórmula que vamos usar.
Em um circuito série a corrente é a mesma em todos os elementos. A lei de Ohm diz que a queda de tensão em um resistor é
V_{R}=I\cdot R,
onde I é a corrente (em ampère) e R a resistência (em ohms). A corrente no circuito inteiro vem da fonte e é dada por
I=\frac{E}{R_{\text{eq}}},
onde R_{\text{eq}} é a resistência equivalente do conjunto em série. Para resistores em série vale
R_{\text{eq}}=R_{1}+R_{2}+R_{3}.
Explicando de modo concreto: somamos as resistências porque a corrente passa por todas elas sequencialmente; ao dividir a tensão total E por essa soma obtemos a corrente que causa as quedas de tensão proporcionais às resistências.

Passo 3

Calcular a resistência equivalente e a corrente.
Somando as resistências:
R_{\text{eq}}=R_{1}+R_{2}+R_{3}=1\\ \text{k}\Omega+2\\ \text{k}\Omega+3\\ \text{k}\Omega=6\\ \text{k}\Omega.
Calcular a corrente com a lei de Ohm:
I=\frac{E}{R_{\text{eq}}}=\frac{30\\ \mathrm{V}}{6\\ \text{k}\Omega}=\frac{30}{6000}\\ \mathrm{A}=0{,}005\\ \mathrm{A}=5\\ \mathrm{mA}.
Comentário prático: essa corrente percorre R_{1},R_{2},R_{3} na mesma magnitude.

Passo 4

Calcular as quedas de tensão em cada resistor (valores numéricos e interpretação).
Usando V_{R}=I\cdot R:
V_{R_{1}}=I\cdot R_{1}=5\\ \mathrm{mA}\cdot 1\\ \text{k}\Omega=5\cdot10^{-3}\cdot1000\\ \mathrm{V}=5\\ \mathrm{V},
V_{R_{2}}=I\cdot R_{2}=5\\ \mathrm{mA}\cdot 2\\ \text{k}\Omega=10\\ \mathrm{V},
V_{R_{3}}=I\cdot R_{3}=5\\ \mathrm{mA}\cdot 3\\ \text{k}\Omega=15\\ \mathrm{V}.
Verificação rápida: V_{R_{1}}+V_{R_{2}}+V_{R_{3}}=5+10+15=30\\ \mathrm{V}=E, ok — a soma das quedas iguala a tensão da fonte, como deve ser.

Passo 5

Definir nomes para os nós e relacionar as quedas de tensão com os potenciais relativos ao nó de referência (entre R_{2} e R_{3} que é 0\\ \mathrm{V}).
Denotemos:
  • V_{\text{ref}}=0\\ \mathrm{V} o nó entre R_{2} e R_{3}.
  • V_B o potencial do nó entre R_{1} e R_{2} (o topo de R_{2}).
  • V_A o potencial do nó no terminal positivo da fonte (o nó antes de R_{1}).
  • V_C o potencial do terminal da fonte do outro lado de R_{3} (o nó depois de R_{3}).
Agora, seguindo o sinal da corrente (do terminal positivo da fonte passando por R_{1}, R_{2}, R_{3} até o terminal negativo), a queda em R_{2} do nó V_B até o ref é V_{R_{2}}=10\\ \mathrm{V}. Como o nó de referência vale 0\\ \mathrm{V}, então o nó acima (topo de R_{2}) tem potencial
V_{B}=+V_{R_{2}}=+10\\ \mathrm{V}.
Ou seja, V_B=10\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Calcular V_A e V_C a partir das quedas conhecidas.
O nó V_A está acima de V_B por uma queda em R_{1} igual a 5\\ \mathrm{V}. Assim
V_{A}=V_{B}+V_{R_{1}}=10\\ \mathrm{V}+5\\ \mathrm{V}=15\\ \mathrm{V}.
O nó V_C está abaixo do nó de referência por uma queda em R_{3} igual a 15\\ \mathrm{V}. Como o nó de referência vale 0\\ \mathrm{V}, o outro extremo de R_{3} tem potencial
V_{C}=0\\ \mathrm{V}-V_{R_{3}}=-15\\ \mathrm{V}.
Checagem pela fonte: V_{A}-V_{C}=15\\ \mathrm{V}-(-15\\ \mathrm{V})=30\\ \mathrm{V}=E, consistente.

Passo 7

Interpretação final e incentivo: resumindo, com a escolha do nó entre R_{2} e R_{3} como terra, os outros nós ficam em níveis de potencial simétricos aqui devido às resistências em proporção. Isso é útil em prova: calcule primeiro a corrente total, depois as quedas em cada resistor e some/compare conforme a referência escolhida.

Resposta

Nó entre R_{1} e R_{2}: 10\\ \mathrm{V}
Terminal positivo da fonte (nó antes de R_{1}): 15\\ \mathrm{V}
Terminal negativo da fonte (nó depois de R_{3}): -15\\ \mathrm{V}

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