Exercício 5. Quatro pilhas alcalinas A A novas, cada uma com E=1,5 \mathrm{Ver}=0,15 \Omega, são associadas em série para alimentar uma lâmpada de 5 \Omega. Determine (a) a tensão equivalente e a resistência interna total, (b) a corrente do circuito, (c) a tensão nos terminais das pilhas (sob carga) e (d) a potência efetivamente entregue à lâmpada.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
Dados fornecidos:
  • Quatro pilhas idênticas em série. Para cada pilha: a fem (força eletromotriz) é E=1,5\\ \mathrm{V} e a resistência interna é r=0,15\\ \Omega.
  • A lâmpada (carga) tem resistência R_{\text{lamp}}=5\\ \Omega.
O enunciado pede:
(a) a tensão equivalente (fem total) e a resistência interna total do conjunto de pilhas;
(b) a corrente do circuito;
(c) a tensão nos terminais das pilhas sob carga (isto é, a tensão que aparece nos terminais do conjunto quando está alimentando a lâmpada);
(d) a potência efetivamente entregue à lâmpada.

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicas que vamos usar (explicação didática):
  • Quando fontes ideais (pilhas) são associadas em série, as fems se somam. Se há n pilhas idênticas com fem \,E, a fem equivalente é \,E_{\text{eq}}=nE. Aqui cada símbolo significa:
    • n: número de pilhas em série,
    • E: fem de cada pilha,
    • E_{\text{eq}}: fem equivalente do conjunto.
  • Quando resistências internas estão em série, as resistências se somam. Para n pilhas com resistência interna r, a resistência interna total é \,R_{\text{int}}=nr.
    Essas regras valem porque em série as tensões e quedas resistivas percorrem toda a cadeia, então somam-se.
Aplicando ao nosso caso:
  • Número de pilhas: n=4.
  • Fem equivalente:
E_{\text{eq}} = nE = 4\cdot 1,5\\ \mathrm{V}.
  • Resistência interna total:
R_{\text{int}} = n r = 4\cdot 0,15\\ \Omega.

Passo 3

Efetuando as contas do Passo 2 passo a passo (sem arredondar desnecessariamente):
E_{\text{eq}} = 4\cdot 1,5 = 6{,}0\\ \mathrm{V}.
R_{\text{int}} = 4\cdot 0,15 = 0{,}60\\ \Omega.
(Isto responde a parte (a).)

Passo 4

Como calcular a corrente do circuito (parte (b)) — teoria e aplicação:
  • Num circuito com uma fonte de fem E_{\text{eq}} e resistência interna R_{\text{int}} alimentando uma resistência externa R_{\text{lamp}}, a corrente é dada pela lei de Ohm para o circuito equivalente:
I = \frac{E_{\text{eq}}}{R_{\text{int}}+R_{\text{lamp}}}.
Aqui I é a corrente que percorre todo o circuito (mesma em série).
Substituindo os valores já obtidos:
I = \frac{6}{0{,}60 + 5}.
Calcule o denominador:
0{,}60 + 5 = 5{,}60.
Agora a divisão:
I = \frac{6}{5{,}60}.
Multiplicando numerador e denominador por 10 para simplificar:
I = \frac{60}{56} = \frac{15}{14}\\ \mathrm{A}.
Em forma decimal:
I \approx 1{,}0714\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Tensão nos terminais das pilhas sob carga (parte (c)) — explicação e cálculo:
  • A tensão nos terminais do conjunto quando está fornecendo corrente é a diferença entre a fem total e a queda de tensão na resistência interna total. Em fórmula:
V_{\text{term}} = E_{\text{eq}} - I\,R_{\text{int}}.
  • Alternativamente, essa tensão é igual à queda de tensão na carga (pois a carga está ligada aos terminais):
V_{\text{term}} = I\,R_{\text{lamp}}.
Usaremos a segunda forma para verificar consistência.
Cálculo usando I e R_{\text{lamp}}:
V_{\text{term}} = I\,R_{\text{lamp}} = \frac{15}{14}\cdot 5.
Multiplicando:
V_{\text{term}} = \frac{75}{14}\\ \mathrm{V}.
Em forma decimal:
V_{\text{term}} \approx 5{,}3571\\ \mathrm{V}.
Verificação rápida usando a primeira forma:
E_{\text{eq}} - I\,R_{\text{int}} = 6 - \frac{15}{14}\cdot 0{,}60.
Calcule \dfrac{15}{14}\cdot 0{,}60 = \dfrac{15}{14}\cdot \dfrac{6}{10} = \dfrac{90}{140} = \dfrac{9}{14}.
Então
6 - \dfrac{9}{14} = \dfrac{84}{14}-\dfrac{9}{14}=\dfrac{75}{14},
que coincide com o valor anterior. Tudo consistente.
Observação didática extra (útil na prova): a queda de tensão em cada pilha na resistência interna é I r. Se quiser saber a tensão terminal de cada pilha individualmente sob carga:
V_{\text{pilha}} = E - I r = 1{,}5 - \frac{15}{14}\cdot 0{,}15 \approx 1{,}3393\\ \mathrm{V}.
Isso é só para intuir como a carga diminui a tensão útil por pilha.

Passo 6

Potência efetivamente entregue à lâmpada (parte (d)) — teoria e cálculo:
  • A potência dissipada na lâmpada (energia por unidade de tempo entregue à carga) é dada por:
P_{\text{lamp}} = I^{2} R_{\text{lamp}}.
Também pode ser calculada por P_{\text{lamp}} = V_{\text{term}} \, I. Ambas dão o mesmo resultado.
Usando I=\dfrac{15}{14} e R_{\text{lamp}}=5:
P_{\text{lamp}} = \left(\frac{15}{14}\right)^{2}\cdot 5 = \frac{225}{196}\cdot 5 = \frac{1125}{196}\\ \mathrm{W}.
Agora a forma decimal:
P_{\text{lamp}} \approx 5{,}7449\\ \mathrm{W}.
Arredondando a três casas decimais: P_{\text{lamp}}\approx 5{,}745\\ \mathrm{W}.

Resposta

(a) E_{\text{eq}}=6{,}0\\ \mathrm{V} \quad R_{\text{int}}=0{,}60\\ \Omega
(b) I=\dfrac{15}{14}\\ \mathrm{A}\approx 1{,}0714\\ \mathrm{A}
(c) V_{\text{term}}=\dfrac{75}{14}\\ \mathrm{V}\approx 5{,}3571\\ \mathrm{V}
(d) P_{\text{lamp}}=\dfrac{1125}{196}\\ \mathrm{W}\approx 5{,}745\\ \mathrm{W}

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