Exercício 3 - Concentração de poluente

A concentração de um poluente ( \mathrm{em} \mu \mathrm{g} / \mathrm{m}^{3} ) em uma região é modelada por C(x, y)=\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}, onde x e y são distâncias em quilômetros a partir de uma chaminé localizada na origem. Você está no ponto P=(1,1).
(a) Calcule as derivadas parciais C_{x} e C_{y} no ponto P e interprete o significado.
(b) Determine o gradiente \nabla C em P e seu módulo. Para onde aponta o gradiente? O que isso diz sobre a direção de maior aumento da concentração?

Passo 1

O enunciado dá a função de concentração
C(x,y)=\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}
em \mu\text{g}/\text{m}^{3}. A chaminé fica na origem (0,0). Você está no ponto P=(1,1).
O que se pede:
  • (a) Calcular as derivadas parciais C_{x} e C_{y} no ponto P e interpretar o significado físico dessas derivadas.
  • (b) Determinar o gradiente \nabla C em P e o módulo \lVert\nabla C\rVert. Dizer para onde aponta o gradiente e o que isso implica sobre a direção de maior aumento da concentração.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão algébrica de C(x,y) (já escrita acima).
  • O ponto onde se avalia: P=(1,1).
  • Unidade da função: \mu\text{g}/\text{m}^{3} (portanto as derivadas terão essa unidade por unidade de distância, aqui por km).

Passo 2

O que é uma derivada parcial e como vamos calcular aqui (aula rápida e sem drama).
  • A derivada parcial C_{x}(x,y) mede a taxa de variação de C quando variamos x sozinho (mantendo y fixo). Ou seja, é o quanto a concentração muda por quilômetro ao mover-se na direção positiva do eixo x, com y constante.
  • De modo análogo, C_{y}(x,y) mede a taxa de variação quando variamos y mantendo x fixo.
  • Para calcular, é prático reescrever C como uma potência:
C(x,y) = (1+x^{2}+y^{2})^{-1}.
Aplicamos a regra da cadeia: se f(u)=u^{-1} e u(x,y)=1+x^{2}+y^{2}, então
\frac{\partial}{\partial x} f(u(x,y)) = f'(u)\cdot u_x.
Aqui f'(u)=-u^{-2} e u_x=2x. Vamos usar isso passo a passo.

Passo 3

Cálculo de C_{x}(x,y) passo a passo usando regra da cadeia.
Começando com C(x,y)=(1+x^{2}+y^{2})^{-1}.
Aplicando a regra da cadeia:
C_{x}(x,y) = -1\cdot(1+x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2x = -\frac{2x}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}.
Explicando cada termo:
  • O fator -1 vem da derivada de u^{-1} que é -u^{-2}.
  • O fator 2x é a derivada de u=1+x^{2}+y^{2} em relação a x.
  • O denominador (1+x^{2}+y^{2})^{2} vem do u^{-2}.

Passo 4

Avaliar C_{x} no ponto P=(1,1) e interpretar.
Substituindo x=1 e y=1:
C_{x}(1,1) = -\frac{2\cdot 1}{(1+1^{2}+1^{2})^{2}} = -\frac{2}{(1+1+1)^{2}} = -\frac{2}{3^{2}} = -\frac{2}{9}.
Interpretação física e unidades:
  • C_{x}(1,1)=-\dfrac{2}{9} significa que, no ponto P, se você se deslocar um quilômetro na direção positiva do eixo x (isto é, aumentar x mantendo y fixo), a concentração diminui em \dfrac{2}{9}\\ \mu\text{g}/\text{m}^{3} por km.
  • O sinal negativo indica que a concentração decresce ao afastar-se no sentido positivo de x a partir de P.

Passo 5

Cálculo de C_{y}(x,y) e avaliação em P.
Pelo mesmo raciocínio (agora diferenciando em relação a y):
C_{y}(x,y) = -\frac{2y}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}.
Avalia em P=(1,1):
C_{y}(1,1) = -\frac{2\cdot 1}{(1+1+1)^{2}} = -\frac{2}{9}.
Interpretação:
  • C_{y}(1,1)=-\dfrac{2}{9} significa que ao mover-se 1 km no sentido positivo de y (mantendo x fixo), a concentração também diminui em \dfrac{2}{9}\\ \mu\text{g}/\text{m}^{3} por km.
  • Novamente o sinal negativo indica decréscimo ao afastar-se no sentido positivo de y.

Passo 6

Construção do gradiente \nabla C e avaliação em P.
Definição: o gradiente é o vetor de derivadas parciais,
\nabla C(x,y) = \bigl(C_{x}(x,y),\,C_{y}(x,y)\bigr).
Usando as fórmulas encontradas:
\nabla C(x,y) = \left(-\frac{2x}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}},\; -\frac{2y}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}\right).
Em P=(1,1):
\nabla C(1,1) = \left(-\frac{2}{9},\; -\frac{2}{9}\right).

Passo 7

Cálculo do módulo (norma) do gradiente em P e interpretação geométrica.
O módulo é
\lVert\nabla C(1,1)\rVert = \sqrt{\left(-\frac{2}{9}\right)^{2}+\left(-\frac{2}{9}\right)^{2}} = \sqrt{2\cdot\frac{4}{81}} = \sqrt{\frac{8}{81}} = \frac{2\sqrt{2}}{9}.
Interpretação:
  • \lVert\nabla C(1,1)\rVert=\dfrac{2\sqrt{2}}{9} é a taxa máxima de aumento de C por unidade de distância (por km) em torno de P.
  • Numericamente, isso vale aproximadamente \dfrac{2\sqrt{2}}{9}\approx 0{,}314\\ \mu\text{g}/\text{m}^{3} por km — ou seja, se você se mover na direção de maior aumento, a concentração aumenta cerca de 0{,}314\\ \mu\text{g}/\text{m}^{3} para cada km percorrido.

Passo 8

Direção do gradiente e o que isso diz sobre a direção de maior aumento.
  • O vetor gradiente em P é \left(-\dfrac{2}{9},-\dfrac{2}{9}\right). Isso aponta para o quadrante onde x e y diminuem — isto é, aponta em direção à origem (0,0).
  • Uma forma clara de ver a direção é o vetor unitário correspondente:
\mathbf{u}_{\text{grad}} = \frac{\nabla C(1,1)}{\lVert\nabla C(1,1)\rVert} = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
  • Conclusão física: a direção de maior aumento da concentração é exatamente a direção que leva à chaminé (a origem). Isso faz sentido físico: a concentração é maior perto da fonte e diminui ao afastar-se, então o máximo aumento local ocorre voltando-se para a chaminé.

Resposta

(a) C_{x}(1,1) = -\dfrac{2}{9},\quad C_{y}(1,1) = -\dfrac{2}{9}.
(b) \nabla C(1,1) = \left(-\dfrac{2}{9}, -\dfrac{2}{9}\right),\quad \lVert\nabla C(1,1)\rVert = \dfrac{2\sqrt{2}}{9}. A direção do gradiente é para \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}, -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right), apontando em direção à origem (para a chaminé), ou seja, a direção de maior aumento da concentração.

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