Exercício 3 - Concentração de poluente
A concentração de um poluente (
) em uma região é modelada por
, onde
e
são distâncias em quilômetros a partir de uma chaminé localizada na origem. Você está no ponto
.
(a) Calcule as derivadas parciais
e
no ponto
e interprete o significado.
(b) Determine o gradiente
em
e seu módulo. Para onde aponta o gradiente? O que isso diz sobre a direção de maior aumento da concentração?
(a) Calcule as derivadas parciais
(b) Determine o gradiente
Passo 1
O enunciado dá a função de concentração
em
. A chaminé fica na origem
. Você está no ponto
.
O que se pede:
- (a) Calcular as derivadas parciais
e no ponto e interpretar o significado físico dessas derivadas. - (b) Determinar o gradiente
em e o módulo . Dizer para onde aponta o gradiente e o que isso implica sobre a direção de maior aumento da concentração.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A expressão algébrica de
(já escrita acima). - O ponto onde se avalia:
. - Unidade da função:
(portanto as derivadas terão essa unidade por unidade de distância, aqui por km).
Passo 2
O que é uma derivada parcial e como vamos calcular aqui (aula rápida e sem drama).
- A derivada parcial
mede a taxa de variação de quando variamos sozinho (mantendo fixo). Ou seja, é o quanto a concentração muda por quilômetro ao mover-se na direção positiva do eixo , com constante. - De modo análogo,
mede a taxa de variação quando variamos mantendo fixo. - Para calcular, é prático reescrever
como uma potência:
Aplicamos a regra da cadeia: se
e
, então
Aqui
e
. Vamos usar isso passo a passo.
Passo 3
Cálculo de
passo a passo usando regra da cadeia.
Começando com
.
Aplicando a regra da cadeia:
Explicando cada termo:
- O fator
vem da derivada de que é . - O fator
é a derivada de em relação a . - O denominador
vem do .
Passo 4
Avaliar
no ponto
e interpretar.
Substituindo
e
:
Interpretação física e unidades:
-
significa que, no ponto , se você se deslocar um quilômetro na direção positiva do eixo (isto é, aumentar mantendo fixo), a concentração diminui em por km. - O sinal negativo indica que a concentração decresce ao afastar-se no sentido positivo de
a partir de .
Passo 5
Cálculo de
e avaliação em
.
Pelo mesmo raciocínio (agora diferenciando em relação a
):
Avalia em
:
Interpretação:
-
significa que ao mover-se 1 km no sentido positivo de (mantendo fixo), a concentração também diminui em por km. - Novamente o sinal negativo indica decréscimo ao afastar-se no sentido positivo de
.
Passo 6
Construção do gradiente
e avaliação em
.
Definição: o gradiente é o vetor de derivadas parciais,
Usando as fórmulas encontradas:
Em
:
Passo 7
Cálculo do módulo (norma) do gradiente em
e interpretação geométrica.
O módulo é
Interpretação:
-
é a taxa máxima de aumento de por unidade de distância (por km) em torno de . - Numericamente, isso vale aproximadamente
por km — ou seja, se você se mover na direção de maior aumento, a concentração aumenta cerca de para cada km percorrido.
Passo 8
Direção do gradiente e o que isso diz sobre a direção de maior aumento.
- O vetor gradiente em
é . Isso aponta para o quadrante onde e diminuem — isto é, aponta em direção à origem . - Uma forma clara de ver a direção é o vetor unitário correspondente:
- Conclusão física: a direção de maior aumento da concentração é exatamente a direção que leva à chaminé (a origem). Isso faz sentido físico: a concentração é maior perto da fonte e diminui ao afastar-se, então o máximo aumento local ocorre voltando-se para a chaminé.
Resposta
(a)
(b)
A direção do gradiente é para
, apontando em direção à origem (para a chaminé), ou seja, a direção de maior aumento da concentração.