Exercício 2 - Altitude em um terreno

A altitude (em metros) de um terreno é dada por h(x, y)=10-x^{2}-y^{2}, onde x e y são coordenadas em quilômetros. Você está no ponto P=(1,1).
(a) Calcule h_{x} e h_{y} em P e interprete o significado.
(b) Encontre o gradiente \nabla h em P e seu módulo. Qual a direção que dá a maior subida? Qual a inclinação máxima?
(c) Determine a derivada direcional de h em P na direção do vetor \mathbf{u}=(1,2) (após normalizá-lo). Explique o significado.
(d) Relacione os resultados obtidos nos experimentos com a direção do gradiente e sua oposta.

Passo 1

O enunciado dá a função da altitude e pede quatro coisas no ponto P=(1,1):
  • Dado: h(x,y)=10-x^{2}-y^{2}. As coordenadas x,y estão em quilômetros e a altitude h está em metros.
  • Ponto: P=(1,1).
  • Perguntas:
    (a) Calcular h_{x} e h_{y} em P e interpretar.
    (b) Encontrar o gradiente \nabla h em P e seu módulo; dizer qual direção dá a maior subida e qual a inclinação máxima.
    (c) Calcular a derivada direcional em P na direção de \mathbf{u}=(1,2) (após normalizar) e interpretar.
    (d) Relacionar os resultados com a direção do gradiente e a sua oposta.

Passo 2

O que é e como calcular derivadas parciais (mini-aula rápida e cálculo).
  • Definição intuitiva: a derivada parcial de h em relação a x, h_{x}(x,y), mede como a altitude muda quando se varia x mantendo y fixo; analogamente h_{y} mede a variação quando se varia y mantendo x fixo.
  • Como calcular: tratar a outra variável como constante e derivar normalmente.
Aplicando a regra de derivação de potências:
h(x,y)=10-x^{2}-y^{2}\quad\Rightarrow\quad h_{x}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}(10)-\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})-\frac{\partial}{\partial x}(y^{2}).
Como 10 é constante e y^{2} é constante em relação a x,
h_{x}(x,y) = 0 - 2x - 0 = -2x.
De modo análogo,
h_{y}(x,y) = -2y.
Agora avaliando em P=(1,1):
h_{x}(1,1) = -2\cdot 1 = -2, \qquad h_{y}(1,1) = -2\cdot 1 = -2.
Observação de unidades: como h está em metros e x,y em quilômetros, as derivadas têm unidades de \text{metros por quilômetro}ô (m/km). Ou seja, um valor -2 significa perda de 2 metros de altitude para cada 1 km movido na direção positiva do eixo correspondente.

Passo 3

Interpretação concreta das derivadas parciais em P.
  • h_{x}(1,1)=-2 m/km: se eu me mover a partir de P uma pequena distância em direção positiva do eixo x (isto é, aumentar x mantendo y fixo), a altitude diminui cerca de 2 metros por cada 1 km andado nessa direção. Se me mover 0{,}5 km em +x, a queda aproximada é 0{,}5\cdot(-2)=-1 m.
  • h_{y}(1,1)=-2 m/km: mesma interpretação para movimento puro na direção +y.
Esses números dizem: nas direções dos eixos positivos a altitude está descendo na taxa de 2 m/km.

Passo 4

Definição e cálculo do gradiente; significado e módulo.
  • Definição: o gradiente de h é o vetor das derivadas parciais,
\nabla h(x,y) = \big(h_{x}(x,y),\,h_{y}(x,y)\big).
Ele indica, em cada ponto, a direção de maior crescimento de h; o comprimento do vetor é a inclinação máxima (o valor da maior derivada direcional).
Para nossa função,
\nabla h(x,y) = (-2x,\,-2y).
Em P=(1,1) temos
\nabla h(1,1) = (-2,-2).
Cálculo do módulo:
\|\nabla h(1,1)\| = \sqrt{(-2)^{2}+(-2)^{2}} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.
Unidade: m/km. Numericamente, 2\sqrt{2}\approx 2{,}828 m/km.
Direção que dá a maior subida: a direção do próprio gradiente. Aqui \nabla h(1,1)=(-2,-2) aponta na direção do vetor (-1,-1) (o vetor normalizado é \dfrac{1}{\sqrt{2}}(-1,-1)), isto é, aponta do ponto P=(1,1) em direção ao origem (0,0). Portanto a maior subida é ao caminhar na direção que diminui simultaneamente x e y (rumo ao centro).
Inclinação máxima: igual a \|\nabla h(1,1)\|=2\sqrt{2} m/km — é a taxa máxima de aumento de altitude por quilômetro, ocorrendo na direção do gradiente. Note que como essa quantidade é positiva, a subida máxima é 2\sqrt{2} m por cada km nessa direção.

Passo 5

Derivada direcional na direção de \mathbf{u}=(1,2) (normalização e mini-aula).
  • Fórmula: a derivada direcional de h em P na direção de um vetor unitário \mathbf{v} é
D_{\mathbf{v}}h(P) = \nabla h(P)\cdot \mathbf{v},
isto é, produto escalar entre gradiente e o vetor direcional unitário. Geometricamente, isto é a projeção do gradiente sobre \mathbf{v}: D_{\mathbf{v}}h(P)=\|\nabla h(P)\|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre \nabla h(P) e \mathbf{v}.
  • Normalizar \mathbf{u}=(1,2):
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}, \qquad \mathbf{e}=\frac{1}{\sqrt{5}}(1,2).
  • Calcular o produto escalar com \nabla h(1,1)=(-2,-2):
D_{\mathbf{e}}h(1,1)=(-2,-2)\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}(1,2) =\frac{1}{\sqrt{5}}\big(-2\cdot 1 + (-2)\cdot 2\big) =\frac{-2-4}{\sqrt{5}}=\frac{-6}{\sqrt{5}}.
Valor numérico aproximado:
\frac{-6}{\sqrt{5}}\approx -\frac{6}{2{,}236}\approx -2{,}683\\ \text{m/km}.
Interpretação: movendo-se a partir de P na direção do vetor (1,2) (ou seja, aumentando x e y proporcionalmente), a altitude diminui. O número negativo indica descida; o valor absoluto indica a rapidez dessa descida: cerca de 2{,}683 metros de perda por quilômetro percorrido nessa direção.

Passo 6

Comparações e relação com a direção do gradiente e a sua oposta.
  • Regra geral: para qualquer vetor unitário \mathbf{v},
D_{\mathbf{v}}h(P)=\|\nabla h(P)\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \nabla h(P) e \mathbf{v}. Assim:
  • máximo de D_{\mathbf{v}}h(P) ocorre quando \cos\theta=1 (ou seja, \mathbf{v} na direção de \nabla h(P)), e o valor máximo é \|\nabla h(P)\|.
  • mínimo ocorre quando \cos\theta=-1 (direção oposta ao gradiente), e o valor mínimo é -\|\nabla h(P)\|.
  • Aplicando aos nossos números:
    • máximo teórico de subida em P: +\|\nabla h(1,1)\|=+2\sqrt{2} m/km, na direção \dfrac{1}{\sqrt{2}}(-1,-1) (rumo ao (0,0)).
    • maior descida (mais íngreme) é -2\sqrt{2} m/km, na direção contrária \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1).
    • a derivada direcional que encontramos na direção de (1,2) foi -6/\sqrt{5}\approx -2{,}683 m/km; isso é consistente porque -2{,}683 está entre -2{,}828 (descida mais íngreme) e +2{,}828 (subida mais íngreme). O sinal negativo mostra que a direção (1,2) forma um ângulo maior que 90^\circ com o gradiente (ou seja, aponta majoritariamente “contra” o gradiente), por isso resulta em descida.

Passo 7

Resumo prático para a prova (como aplicar rápido no exame):
  • Para h(x,y)=10-x^{2}-y^{2}:
    • Calcule \,h_{x}=-2x,\;h_{y}=-2y. Avalie em P.
    • O gradiente é \nabla h=(h_{x},h_{y}). Em P calcule e depois seu módulo por \sqrt{h_{x}^{2}+h_{y}^{2}}.
    • Derivada direcional na direção de um vetor \mathbf{u}: primeiro normalize \mathbf{u} e depois faça produto escalar com \nabla h(P).
    • Interprete sinais: positivo = subida, negativo = descida; valor máximo = \|\nabla h\| na direção do gradiente; mínimo = -\|\nabla h\| na direção oposta.
Força aí — com esses passos você resolve qualquer questão parecida rapidinho na prova.

Resposta

(a) h_{x}(1,1)=-2,\;h_{y}(1,1)=-2 (significa queda de 2 m por km ao mover-se nas direções +x ou +y).
(b) \nabla h(1,1)=(-2,-2),\;\|\nabla h(1,1)\|=2\sqrt{2} m/km; direção de maior subida: \dfrac{1}{\sqrt{2}}(-1,-1) (rumo a (0,0)); inclinação máxima: 2\sqrt{2} m/km.
(c) Direcional na direção de \mathbf{u}=(1,2) (normalizado): D_{\mathbf{u}}h(1,1)=\dfrac{-6}{\sqrt{5}}\approx -2{,}683 m/km (descida nessa direção).
(d) Em geral D_{\mathbf{v}}h(P)=\|\nabla h(P)\|\cos\theta; o gradiente dá a direção de subida mais rápida (valor +\|\nabla h\|) e a direção oposta dá a descida mais rápida (valor -\|\nabla h\|).

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