Exercício 2 - Altitude em um terreno
A altitude (em metros) de um terreno é dada por
, onde
e
são coordenadas em quilômetros. Você está no ponto
.
(a) Calcule
e
em
e interprete o significado.
(b) Encontre o gradiente
em
e seu módulo. Qual a direção que dá a maior subida? Qual a inclinação máxima?
(c) Determine a derivada direcional de
em
na direção do vetor
(após normalizá-lo). Explique o significado.
(d) Relacione os resultados obtidos nos experimentos com a direção do gradiente e sua oposta.
(a) Calcule
(b) Encontre o gradiente
(c) Determine a derivada direcional de
(d) Relacione os resultados obtidos nos experimentos com a direção do gradiente e sua oposta.
Passo 1
O enunciado dá a função da altitude e pede quatro coisas no ponto
:
- Dado:
. As coordenadas estão em quilômetros e a altitude está em metros. - Ponto:
. - Perguntas:
(a) Calculare em e interpretar.
(b) Encontrar o gradienteem e seu módulo; dizer qual direção dá a maior subida e qual a inclinação máxima.
(c) Calcular a derivada direcional emna direção de (após normalizar) e interpretar.
(d) Relacionar os resultados com a direção do gradiente e a sua oposta.
Passo 2
O que é e como calcular derivadas parciais (mini-aula rápida e cálculo).
- Definição intuitiva: a derivada parcial de
em relação a , , mede como a altitude muda quando se varia mantendo fixo; analogamente mede a variação quando se varia mantendo fixo. - Como calcular: tratar a outra variável como constante e derivar normalmente.
Aplicando a regra de derivação de potências:
Como
é constante e
é constante em relação a
,
De modo análogo,
Agora avaliando em
:
Observação de unidades: como
está em metros e
em quilômetros, as derivadas têm unidades de
(m/km). Ou seja, um valor
significa perda de
metros de altitude para cada
km movido na direção positiva do eixo correspondente.
Passo 3
Interpretação concreta das derivadas parciais em
.
-
m/km: se eu me mover a partir de uma pequena distância em direção positiva do eixo (isto é, aumentar mantendo fixo), a altitude diminui cerca de metros por cada km andado nessa direção. Se me mover km em , a queda aproximada é m. -
m/km: mesma interpretação para movimento puro na direção .
Esses números dizem: nas direções dos eixos positivos a altitude está descendo na taxa de
m/km.
Passo 4
Definição e cálculo do gradiente; significado e módulo.
- Definição: o gradiente de
é o vetor das derivadas parciais,
Ele indica, em cada ponto, a direção de maior crescimento de
; o comprimento do vetor é a inclinação máxima (o valor da maior derivada direcional).
Para nossa função,
Em
temos
Cálculo do módulo:
Unidade: m/km. Numericamente,
m/km.
Direção que dá a maior subida: a direção do próprio gradiente. Aqui
aponta na direção do vetor
(o vetor normalizado é
), isto é, aponta do ponto
em direção ao origem
. Portanto a maior subida é ao caminhar na direção que diminui simultaneamente
e
(rumo ao centro).
Inclinação máxima: igual a
m/km — é a taxa máxima de aumento de altitude por quilômetro, ocorrendo na direção do gradiente. Note que como essa quantidade é positiva, a subida máxima é
m por cada km nessa direção.
Passo 5
Derivada direcional na direção de
(normalização e mini-aula).
- Fórmula: a derivada direcional de
em na direção de um vetor unitário é
isto é, produto escalar entre gradiente e o vetor direcional unitário. Geometricamente, isto é a projeção do gradiente sobre
:
, onde
é o ângulo entre
e
.
- Normalizar
:
- Calcular o produto escalar com
:
Valor numérico aproximado:
Interpretação: movendo-se a partir de
na direção do vetor
(ou seja, aumentando
e
proporcionalmente), a altitude diminui. O número negativo indica descida; o valor absoluto indica a rapidez dessa descida: cerca de
metros de perda por quilômetro percorrido nessa direção.
Passo 6
Comparações e relação com a direção do gradiente e a sua oposta.
- Regra geral: para qualquer vetor unitário
,
onde
é o ângulo entre
e
. Assim:
-
máximo de
ocorre quando (ou seja, na direção de ), e o valor máximo é . -
mínimo ocorre quando
(direção oposta ao gradiente), e o valor mínimo é . -
Aplicando aos nossos números:
- máximo teórico de subida em
: m/km, na direção (rumo ao ). - maior descida (mais íngreme) é
m/km, na direção contrária . - a derivada direcional que encontramos na direção de
foi m/km; isso é consistente porque está entre (descida mais íngreme) e (subida mais íngreme). O sinal negativo mostra que a direção forma um ângulo maior que com o gradiente (ou seja, aponta majoritariamente “contra” o gradiente), por isso resulta em descida.
- máximo teórico de subida em
Passo 7
Resumo prático para a prova (como aplicar rápido no exame):
- Para
: - Calcule
. Avalie em . - O gradiente é
. Em calcule e depois seu módulo por . - Derivada direcional na direção de um vetor
: primeiro normalize e depois faça produto escalar com . - Interprete sinais: positivo = subida, negativo = descida; valor máximo =
na direção do gradiente; mínimo = na direção oposta.
- Calcule
Força aí — com esses passos você resolve qualquer questão parecida rapidinho na prova.
Resposta
(a)
(significa queda de
m por km ao mover-se nas direções
ou
).
(b) m/km; direção de maior subida:
(rumo a
); inclinação máxima:
m/km.
(c) Direcional na direção de (normalizado):
m/km (descida nessa direção).
(d) Em geral ; o gradiente dá a direção de subida mais rápida (valor
) e a direção oposta dá a descida mais rápida (valor
).
(b)
(c) Direcional na direção de
(d) Em geral