Exercício 3)
Considere um copo contendo uma massa M de água pura, à temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}. Um bloco de gelo de massa 50 g e a uma temperatura de -5^{\circ} \mathrm{C} é colocado dentro da água do copo. Admita que o sistema gelo-água esteja isolado termicamente do ambiente externo e que o copo tenha capacidade térmica desprezível. Sabendo que a temperatura final de equilíbrio térmico é de 10^{\circ} \mathrm{C}, qual a massa de água M ?
Sendo: calor específico sensível do gelo =0,50 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}. Calor específico sensível da água =1,0 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}. Calor específico latente de fusão do gelo =80 \mathrm{cal} / \mathrm{g}.

Passo 1

O enunciado pede a massa de água M do copo, dadas as seguintes informações: \n
  • Massa do bloco de gelo: m_{\text{gelo}}=50\\ \mathrm{g}. \n
  • Temperatura inicial do gelo: -5^\circ\mathrm{C}. \n
  • Temperatura inicial da água do copo: 20^\circ\mathrm{C}. \n
  • Temperatura final de equilíbrio: T_f=10^\circ\mathrm{C}. \n
  • Sistema isolado termicamente e capacidade térmica do copo desprezível. \n
  • Constantes fornecidas: calor específico do gelo c_{\text{gelo}}=0,50\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}, calor específico da água c_{\text{água}}=1,0\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}á, e calor latente de fusão do gelo L_f=80\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}. \n
    Pergunta clara: determinar M (massa da água inicialmente a 20^\circ\mathrm{C}).

Passo 2

Princípio físico a usar (conservação de energia térmica): num sistema isolado, a soma das trocas de calor entre as partes é zero. Aqui, o gelo recebe calor (se aquece, funde e aquece como água) e a água inicial perde calor ao esfriar de 20^\circ\mathrm{C} para 10^\circ\mathrm{C}. Matematicamente podemos escrever:
Q_{\text{água}} + Q_{\text{gelo}} = 0,á
onde Q_{\text{água}}á é o calor trocado pela água inicial (negativo, pois perde calor) e Q_{\text{gelo}} é o calor ganho pelo gelo (positivo).

Passo 3

Calcular o calor necessário para aquecer o gelo de -5^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}. Usa-se a fórmula do calor sensível:
Q = m c \Delta T,
onde m é a massa, c o calor específico e \Delta T a variação de temperatura ( T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}). Para esta etapa:
Q_1 = m_{\text{gelo}}\, c_{\text{gelo}}\, (0 - (-5)).
Substituindo:
Q_1 = 50\cdot 0,50 \cdot 5 = 50\cdot 0{,}5\cdot 5.
Calculemos passo a passo: 0{,}5\cdot 5 = 2{,}5, então 50\cdot 2{,}5 = 125. Portanto
Q_1 = 125\\ \mathrm{cal}.

Passo 4

Calor necessário para fundir o gelo a 0^\circ\mathrm{C} (calor latente). Usa-se:
Q_2 = m_{\text{gelo}}\, L_f,
onde L_f é o calor latente de fusão (energia por grama para mudar de sólido para líquido sem variação de temperatura). Substituindo:
Q_2 = 50\cdot 80 = 4000\\ \mathrm{cal}.

Passo 5

Calor necessário para aquecer a água proveniente do gelo de 0^\circ\mathrm{C} até 10^\circ\mathrm{C}. Novamente usa-se Q = m c \Delta T, agora com c_{\text{água}}á:
Q_3 = m_{\text{gelo}}\, c_{\text{água}}\, (10 - 0).á
Substituindo:
Q_3 = 50\cdot 1{,}0 \cdot 10 = 50\cdot 10 = 500\\ \mathrm{cal}.

Passo 6

Somamos todos os termos de calor ganhos pelo gelo (aquecimento sólido + fusão + aquecimento do líquido):
Q_{\text{gelo}} = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 125 + 4000 + 500.
Fazendo a soma:
Q_{\text{gelo}} = 4625\\ \mathrm{cal}.

Passo 7

Calor perdido pela água inicial ao esfriar de 20^\circ\mathrm{C} para 10^\circ\mathrm{C}. Usamos Q = m c \Delta T com m=M, c=c_{\text{água}}á e \Delta T = T_f - T_i = 10 - 20 = -10^\circ\mathrm{C}. Assim:
Q_{\text{água}} = M\cdot 1{,}0 \cdot (10-20) = -10\,M\\ \mathrm{cal}.á
O sinal negativo indica perda de calor. Em módulo, a água fornece 10\,M\\ \mathrm{cal} para o gelo.

Passo 8

Aplicando a equação de conservação de energia Q_{\text{água}} + Q_{\text{gelo}} = 0á, temos:
-10\,M + 4625 = 0.
Isolando M:
10\,M = 4625 \quad\Rightarrow\quad M = \frac{4625}{10}.
Calculando:
M = 462{,}5\\ \mathrm{g}.
Convertendo para quilogramas (dividindo por 1000):
M = 0{,}4625\\ \mathrm{kg}.

Passo 9

Verificação rápida de plausibilidade: a água quente perde 10\cdot 462{,}5=4625\\ \mathrm{cal}, exatamente o que o gelo necessita. Valor razoável: cerca de 0{,}46\\ \mathrm{kg} de água é suficiente para elevar e derreter 50\\ \mathrm{g} de gelo até 10^\circ\mathrm{C}. Força aí — você conseguiu entender a sequência de etapas!

Resposta

M = 462{,}5\\ \mathrm{g} = 0{,}4625\\ \mathrm{kg}

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