Questão 6: Em uma escala linear de temperatura X , a água congela a -125^{\circ} \mathrm{X} e evapora a 375^{\circ} \mathrm{X}. Em uma escala linear te temperatura Y , a água congela a -70^{\circ} \mathrm{Y} e evapora a -30^{\circ} \mathrm{Y}. Determine: (a) A relação de conversão entre as escalas. (b) A que temperatura na escala X corresponde a temperatura de 50^{\circ} \mathrm{Y} na escala Y?

Passo 1

O enunciado dá correspondências de pontos entre duas escalas lineares de temperatura X e Y. As informações relevantes são:
  • Na escala X a água congela em -125^\circ X e evapora em 375^\circ X.
  • Na escala Y a água congela em -70^\circ Y e evapora em -30^\circ Y.
    As perguntas são:
    (a) Determinar a relação de conversão entre as escalas.
    (b) Determinar a que temperatura na escala X corresponde 50^\circ Y.

Passo 2

Por serem escalas lineares, a relação entre X e Y é da forma
Y = mX + b
onde m é a inclinação (razão de variação de Y por unidade de X) e b é o deslocamento (valor de Y quando X=0). Para encontrar m e b usamos as duas correspondências fornecidas como dois pares (X,Y):
(-125,\,-70)\quad\text{e}\quad(375,\,-30).

Passo 3

Calcular a inclinação m usando a fórmula da inclinação entre dois pontos:
m=\frac{Y_2-Y_1}{X_2-X_1}.
Substituindo Y_1=-70, Y_2=-30, X_1=-125, X_2=375 temos:
Y_2-Y_1 = -30 - (-70) = 40,
X_2-X_1 = 375 - (-125) = 500,
logo
m = \frac{40}{500} = \frac{2}{25}.

Passo 4

Agora achamos b substituindo um dos pares na relação Y=mX+b. Usando (-125,-70):
-70 = \frac{2}{25}\cdot(-125) + b.
Calcule \frac{2}{25}\cdot(-125)= -\frac{250}{25} = -10. Então
-70 = -10 + b \quad\Rightarrow\quad b = -70 + 10 = -60.
Portanto a relação é
Y = \frac{2}{25}X - 60.

Passo 5

É útil também escrever a relação inversa X em função de Y. Invertendo Y = \frac{2}{25}X - 60:
X = \frac{Y - (-60)}{2/25} = \frac{Y+60}{2/25} = \frac{25}{2}(Y+60).
Desenvolvendo:
X = \frac{25}{2}Y + 750.

Passo 6

Agora respondemos a (b): para Y=50 substituímos na relação inversa:
X = \frac{25}{2}\cdot 50 + 750.
Calcule \frac{25}{2}\cdot 50 = 25\cdot 25 = 625. Então
X = 625 + 750 = 1375.
Portanto 50^\circ Y corresponde a 1375^\circ X.

Resposta

Y = \dfrac{2}{25}X - 60 ou, invertendo, X = \dfrac{25}{2}Y + 750.
1375^\circ X

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