Exercício 2. Considere a cúbica reversa
\gamma(t)=\left(3 t, 3 t^{2}, 2 t^{3}\right), t \in \mathbb{R}
Mostre que \gamma(t) forma um ângulo constante com a reta x=z e y=0;

Passo 1

O enunciado dá a curva cúbica reversa
\gamma(t)=\left(3t,\,3t^{2},\,2t^{3}\right),\quad t\in\mathbb{R},
e pede para mostrar que \gamma(t) forma um ângulo constante com a reta dada por x=z e y=0. Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{reta }L:\;x=z,\;y=0.
Um parâmetro simples para L é s\mapsto (s,0,s), portanto um vetor diretor da reta é
v=(1,0,1).
A pergunta que vamos responder é: o ângulo entre a curva e a reta (isto é, entre o vetor tangente da curva e v) é independente de t? Se sim, qual é esse ângulo?

Passo 2

Explicação didática do que significa “ângulo entre a curva e a reta”: quando se fala que uma curva forma um ângulo com uma reta, normalmente queremos o ângulo entre o vetor tangente à curva e o vetor diretor da reta. O vetor tangente à curva em t é a derivada componente a componente de \gamma(t). Derivar componente a componente significa derivar cada coordenada em função de t.
Calculemos a derivada:
\gamma'(t)=\left(\frac{d}{dt}(3t),\,\frac{d}{dt}(3t^{2}),\,\frac{d}{dt}(2t^{3})\right)=\left(3,\,6t,\,6t^{2}\right).

Passo 3

Lembrete da fórmula para o ângulo entre dois vetores: dados dois vetores não nulos a e b, o cosseno do ângulo \theta entre eles é dado por
\cos\theta=\frac{a\cdot b}{\|a\|\,\|b\|},
onde a\cdot b é o produto escalar e \|a\| é a norma (comprimento) do vetor, com
a\cdot b=\sum_{i} a_i b_i,\qquad \|a\|=\sqrt{a\cdot a}.
Aqui usaremos a=\gamma'(t) e b=v=(1,0,1). Vou explicar cada termo quando calcular.

Passo 4

Calcule o produto escalar \gamma'(t)\cdot v. Usando a definição:
\gamma'(t)\cdot v = 3\cdot 1 + 6t\cdot 0 + 6t^{2}\cdot 1 = 3 + 6t^{2}.

Passo 5

Calcule as normas \|\gamma'(t)\| e \|v\|.
Primeiro \|v\|:
\|v\|=\sqrt{1^{2}+0^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
Agora \|\gamma'(t)\|:
\|\gamma'(t)\|=\sqrt{3^{2}+(6t)^{2}+(6t^{2})^{2}}=\sqrt{9+36t^{2}+36t^{4}}.
Fatorando 9 dentro da raiz:
9+36t^{2}+36t^{4}=9\bigl(1+4t^{2}+4t^{4}\bigr)=9\bigl(1+2t^{2}\bigr)^{2},
pois (1+2t^{2})^{2}=1+4t^{2}+4t^{4}. Assim
\|\gamma'(t)\|=\sqrt{9(1+2t^{2})^{2}}=3(1+2t^{2}),
já que 1+2t^{2}>0 para todo t.

Passo 6

Agora compute o cosseno do ângulo usando a fórmula:
\cos\theta(t)=\frac{\gamma'(t)\cdot v}{\|\gamma'(t)\|\,\|v\|}=\frac{3+6t^{2}}{3(1+2t^{2})\sqrt{2}}.
Observe que 3+6t^{2}=3(1+2t^{2}), então há cancelamento:
\cos\theta(t)=\frac{3(1+2t^{2})}{3(1+2t^{2})\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Como o valor de \cos\theta(t) não depende de t, o ângulo é constante.

Passo 7

Determine o valor do ângulo. Se \cos\theta=1/\sqrt{2}, então
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\pi}{4},
o que em graus é 45^\circ. Conclusão: a curva forma um ângulo constante de \pi/4 com a reta x=z,\;y=0.

Resposta

\theta=\dfrac{\pi}{4} (ou 45^\circ)

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