Exercício 2. Considere a cúbica reversa
Mostre que
forma um ângulo constante com a reta
e
;
Passo 1
O enunciado dá a curva cúbica reversa
e pede para mostrar que
forma um ângulo constante com a reta dada por
e
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
Um parâmetro simples para
é
, portanto um vetor diretor da reta é
A pergunta que vamos responder é: o ângulo entre a curva e a reta (isto é, entre o vetor tangente da curva e
) é independente de
? Se sim, qual é esse ângulo?
Passo 2
Explicação didática do que significa “ângulo entre a curva e a reta”: quando se fala que uma curva forma um ângulo com uma reta, normalmente queremos o ângulo entre o vetor tangente à curva e o vetor diretor da reta. O vetor tangente à curva em
é a derivada componente a componente de
. Derivar componente a componente significa derivar cada coordenada em função de
.
Calculemos a derivada:
Passo 3
Lembrete da fórmula para o ângulo entre dois vetores: dados dois vetores não nulos
e
, o cosseno do ângulo
entre eles é dado por
onde
é o produto escalar e
é a norma (comprimento) do vetor, com
Aqui usaremos
e
. Vou explicar cada termo quando calcular.
Passo 4
Calcule o produto escalar
. Usando a definição:
Passo 5
Calcule as normas
e
.
Primeiro
:
Agora
:
Fatorando
dentro da raiz:
pois
. Assim
já que
para todo
.
Passo 6
Agora compute o cosseno do ângulo usando a fórmula:
Observe que
, então há cancelamento:
Como o valor de
não depende de
, o ângulo é constante.
Passo 7
Determine o valor do ângulo. Se
, então
o que em graus é
. Conclusão: a curva forma um ângulo constante de
com a reta
.