Exercício 3.4.2. Considere dez lançamentos independentes de um dado honesto.
Calcule a probabilidade de se obter a mesma face em todos os dez lançamentos.
Calcule a probabilidade de se obter a mesma face em todos os dez lançamentos.
Passo 1
O enunciado diz que temos dez lançamentos independentes de um dado honesto e quer a probabilidade de obter exatamente a mesma face em todos os dez lançamentos. Esse é um problema de probabilidade em espaço amostral finito e equiprovável, onde vamos usar contagem de resultados e a regra do produto para eventos independentes.
Passo 2
Primeiro, calculamos o número total de resultados possíveis. Como cada lançamento tem
faces e são
lançamentos independentes, o total de sequências possíveis é
Passo 3
Agora, contamos os resultados favoráveis ao evento “todas as faces iguais”. Para isso, escolhemos qual face vai aparecer (são
opções) e exigimos que os dez lançamentos sejam exatamente essa face. Logo, há
sequências favoráveis.
Passo 4
A probabilidade do evento é o quociente entre o número de resultados favoráveis e o total de resultados, isto é,
Alternativamente, podemos ver isso pela regra do produto de probabilidades condicionais: após o primeiro lançamento não haver restrição, cada um dos
lançamentos seguintes tem probabilidade
de coincidir com o primeiro, dando
.