Exercício 3.4.2. Considere dez lançamentos independentes de um dado honesto.
Calcule a probabilidade de se obter face cinco em exatamente dois dos dez lançamentos.

Passo 1

O enunciado considera n=10 lançamentos independentes de um dado honesto e pede a probabilidade de obter “face cinco” exatamente k=2 vezes. O conteúdo envolvido é a distribuição binomial, pois cada lançamento é um ensaio de Bernoulli com duas possibilidades: sucesso (sair cinco) ou fracasso (não sair cinco).

Passo 2

Em cada lançamento a probabilidade de sucesso é
p = 16
e de fracasso é
1-p = 56
Como os lançamentos são independentes, o número de sucessos em n ensaios segue a distribuição binomial.

Passo 3

A fórmula geral da probabilidade de exatamente k sucessos em n ensaios é
P(X = k) ;=; binomnk,p^k,(1-p)^,n-k

Passo 4

Substituindo n=10, k=2 e p=tfrac16, temos
P(X=2) =binom102,l(tfrac16r)^2,l(tfrac56r)^8
Como binom102=45, isso fica
P(X=2) =45cdotl(tfrac16r)^2cdotl(tfrac56r)^8

Passo 5

Para dar uma ideia do valor numérico, note que
l(tfrac16r)^2 = tfrac136, l(tfrac56r)^8 = tfrac5^86^8 = tfrac3906251679616approx0,2323
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P(X=2)approx 45cdottfrac136cdot0,2323 =1,25cdot0,2323approx0,2907

Resposta

P(dois cincos em 10 lançamentos) =binom102l(tfrac16r)^2l(tfrac56r)^8 approx0,291 ç

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