Exercício 3. Considere a espiral logarítmica dada por
a) Determine o limite de
quando
vai para
;
b) Verifique que a curva
é regular e esboce seu traço, destacando o sentido em que a curva é percorrida;
c) Determine a função comprimento de arco e calcule o comprimento da curva
quando
;
d) Determine
, a reparametrização PPCA da curva
;
b) Verifique que a curva
c) Determine a função comprimento de arco e calcule o comprimento da curva
d) Determine
Passo 1
O enunciado dá a espiral logarítmica
As perguntas são:
- (a) calcular
; - (b) verificar que
é regular e esboçar o traço, indicando o sentido de percorremento; - (c) determinar a função comprimento de arco (tomando
) e calcular o comprimento da curva para ; - (d) encontrar
, a reparametrização por comprimento de arco (PPCA) da curva .
Informações relevantes que recebi do enunciado:
-
e ; - a componente angular é
(pois aparece ); - o raio em coordenadas polares é
.
Passo 2
(a) Calcular o limite quando
.
A ideia: observar o raio
. Como
, temos
quando
, então
. Portanto
. Escrevendo isso com as componentes:
Como
e
são limitadas entre
e
, cada componente tende a
por multiplicação por uma quantia que vai a zero. Logo
Passo 3
(b) Verificar que a curva é regular e descrever/esboçar o traço com sentido.
-
Definição rápida e intuitiva (sem jargões): uma curva é regular se a sua derivada nunca é o vetor zero (isto garante que não “para” nem tem cusp na parametrização).
-
Calcular a derivada. Como é conveniente, escrevemos
em forma polar com e :
Derivando componente a componente, usando
,
Substituindo
,
- Norma do vetor derivada. Calculamos
(vai ser útil depois também):
Expandindo e somando os quadrados (faça isso com calma na prova: quadrado termo a termo e some),
Portanto
-
Como
e para todo , temos para todo . Assim para todo e a curva é regular. -
Esboço e sentido: em coordenadas polares a curva é
com .
- Como
, decresce quando aumenta: cada volta o raio diminui exponencialmente. - Como
aumenta com , a curva gira no sentido anti-horário (contra o sentido dos ponteiros do relógio) quando aumenta. - Em
o ponto é . Após um incremento de em a direção angular volta, mas o raio foi multiplicado por , então a espiral aproxima-se cada vez mais da origem.
Conclusão gráfica: é uma espiral que parte “lá fora” quando(raio grande), vai enrolando sentido anti-horário e aproxima-se do ponto quando . Indique no esboço setas apontando para dentro conforme cresce.
Passo 4
(c) Determinar a função comprimento de arco
com
e calcular o comprimento para
.
- Fórmula do comprimento de arco: para uma curva regular
, o comprimento de arco desde até é
Nós já achamos
. Então
- Calcule a integral explícita (lembrando que
):
Portanto
Observação útil para a prova: como
a quantidade acima é positiva para
; às vezes é mais claro reescrever em forma com
. Usando
,
- Comprimento total da curva para
: fazemos o limite . Como ,
Usando
(porque
),
Passo 5
(d) Determinar
, a reparametrização PPCA (parametrização por comprimento de arco) com
medindo o comprimento desde
.
- Temos a relação entre
e (do passo anterior). Para facilitar, escrevemos em termos de uma constante positiva
Usando a forma
(válida porque
), obtemos
- Inverter para obter
em função de :
Observe o domínio: para
o argumento do log é positivo;
corresponde ao comprimento total (limite quando
), então a PPCA natural vai de
. Se desejar compactificar, pode-se considerar
e tomar o limite em
que envia
.
- Agora escrevemos
. Usamos que para simplificar a componente radial. Assim
com
- Se quiser manipular a expressão para que não apareça
explicitamente, note que . Uma forma alternativa útil é
então
e
Ambas as formas são equivalentes; a primeira com
é um pouco mais direta.
- Verificação rápida: por construção
tem norma (é parametrização por comprimento) e . O domínio natural é , com .
Resposta
(a)
(b)
é regular, pois
para todo
. O traço é uma espiral logarítmica
, que para
vai enrolando no sentido anti-horário e aproximando-se da origem quando
.
(c)
. Comprimento total para
:
.
(d) Com
,
definida para
, que é a reparametrização por comprimento de arco de
.