Exercício 3. Considere a espiral logarítmica dada por
\alpha(t)=\left(a e^{b t} \cos (t), a e^{b t} \operatorname{sen}(t)\right), \operatorname{com} t \in \mathbb{R} \text { e } a>0>b
a) Determine o limite de \alpha(t) quando t vai para +\infty;
b) Verifique que a curva \alpha é regular e esboce seu traço, destacando o sentido em que a curva é percorrida;
c) Determine a função comprimento de arco e calcule o comprimento da curva \alpha quando t \in[0, \infty);
d) Determine \beta(s), a reparametrização PPCA da curva \alpha;

Passo 1

O enunciado dá a espiral logarítmica
\alpha(t)=\bigl(a e^{b t}\cos(t),\,a e^{b t}\sin(t)\bigr),\quad t\in\mathbb{R},\quad a>0>b.
As perguntas são:
  • (a) calcular \lim_{t\to+\infty}\alpha(t);
  • (b) verificar que \alpha é regular e esboçar o traço, indicando o sentido de percorremento;
  • (c) determinar a função comprimento de arco (tomando s(0)=0) e calcular o comprimento da curva para t\in[0,\infty);
  • (d) encontrar \beta(s), a reparametrização por comprimento de arco (PPCA) da curva \alpha.
Informações relevantes que recebi do enunciado:
  • a>0 e b<0;
  • a componente angular é \theta(t)=t (pois aparece \cos t,\sin t);
  • o raio em coordenadas polares é r(t)=a e^{b t}.

Passo 2

(a) Calcular o limite quando t\to+\infty.
A ideia: observar o raio r(t)=a e^{b t}. Como b<0, temos b t\to -\infty quando t\to+\infty, então e^{b t}\to 0. Portanto r(t)\to 0. Escrevendo isso com as componentes:
\lim_{t\to+\infty}\alpha(t)=\Bigl(\lim_{t\to+\infty}a e^{b t}\cos t,\;\lim_{t\to+\infty}a e^{b t}\sin t\Bigr).
Como a e^{b t}\to 0 e \cos t,\sin t são limitadas entre -1 e 1, cada componente tende a 0 por multiplicação por uma quantia que vai a zero. Logo
\boxed{\lim_{t\to+\infty}\alpha(t)=(0,0).}

Passo 3

(b) Verificar que a curva é regular e descrever/esboçar o traço com sentido.
  1. Definição rápida e intuitiva (sem jargões): uma curva é regular se a sua derivada nunca é o vetor zero (isto garante que não “para” nem tem cusp na parametrização).
  2. Calcular a derivada. Como é conveniente, escrevemos \alpha(t) em forma polar com r(t)=a e^{b t} e \theta(t)=t:
\alpha(t)=(r(t)\cos t,\; r(t)\sin t).
Derivando componente a componente, usando r'(t)=a b e^{b t}=b r(t),
\alpha'(t)=\bigl(r'(t)\cos t - r(t)\sin t,\; r'(t)\sin t + r(t)\cos t\bigr).
Substituindo r'(t)=b r(t),
\alpha'(t)=r(t)\bigl(b\cos t - \sin t,\; b\sin t + \cos t\bigr).
  1. Norma do vetor derivada. Calculamos \|\alpha'(t)\| (vai ser útil depois também):
\|\alpha'(t)\|=r(t)\sqrt{(b\cos t-\sin t)^2+(b\sin t+\cos t)^2}.
Expandindo e somando os quadrados (faça isso com calma na prova: quadrado termo a termo e some),
(b\cos t-\sin t)^2+(b\sin t+\cos t)^2=b^2(\cos^2 t+\sin^2 t)+(\sin^2 t+\cos^2 t)=b^2+1.
Portanto
\boxed{\|\alpha'(t)\|=r(t)\sqrt{1+b^2}=a e^{b t}\sqrt{1+b^2}.}
  1. Como a>0 e e^{b t}>0 para todo t, temos \|\alpha'(t)\|>0 para todo t. Assim \alpha'(t)\neq 0 para todo t e a curva é regular.
  2. Esboço e sentido: em coordenadas polares a curva é r=a e^{b t} com \theta=t.
  • Como b<0, r(t) decresce quando t aumenta: cada volta o raio diminui exponencialmente.
  • Como \theta=t aumenta com t, a curva gira no sentido anti-horário (contra o sentido dos ponteiros do relógio) quando t aumenta.
  • Em t=0 o ponto é (a,0). Após um incremento de 2\pi em t a direção angular volta, mas o raio foi multiplicado por e^{2\pi b}<1, então a espiral aproxima-se cada vez mais da origem.
    Conclusão gráfica: é uma espiral que parte “lá fora” quando t\to -\infty (raio grande), vai enrolando sentido anti-horário e aproxima-se do ponto (0,0) quando t\to+\infty. Indique no esboço setas apontando para dentro conforme t cresce.

Passo 4

(c) Determinar a função comprimento de arco s(t) com s(0)=0 e calcular o comprimento para t\in[0,\infty).
  1. Fórmula do comprimento de arco: para uma curva regular \alpha, o comprimento de arco desde 0 até t é
s(t)=\int_{0}^{t}\|\alpha'(u)\|\,du.
Nós já achamos \|\alpha'(u)\|=a e^{b u}\sqrt{1+b^2}. Então
s(t)=\int_{0}^{t}a e^{b u}\sqrt{1+b^2}\,du = a\sqrt{1+b^2}\int_{0}^{t}e^{b u}\,du.
  1. Calcule a integral explícita (lembrando que b\neq 0):
\int_{0}^{t}e^{b u}\,du=\frac{e^{b t}-1}{b}.
Portanto
\boxed{s(t)=\frac{a\sqrt{1+b^2}}{b}\bigl(e^{b t}-1\bigr).}
Observação útil para a prova: como b<0 a quantidade acima é positiva para t\ge 0; às vezes é mais claro reescrever em forma com |b|. Usando -b=|b|,
s(t)=\frac{a\sqrt{1+b^2}}{-|b|}\bigl(e^{b t}-1\bigr)=\frac{a\sqrt{1+b^2}}{|b|}\bigl(1-e^{b t}\bigr).
  1. Comprimento total da curva para t\in[0,\infty): fazemos o limite L=\lim_{t\to\infty}s(t). Como e^{b t}\to 0,
L=\frac{a\sqrt{1+b^2}}{b}\bigl(0-1\bigr)=-\frac{a\sqrt{1+b^2}}{b}.
Usando |b|=-b (porque b<0),
\boxed{\text{comprimento total }=\frac{a\sqrt{1+b^2}}{|b|}.}

Passo 5

(d) Determinar \beta(s), a reparametrização PPCA (parametrização por comprimento de arco) com s medindo o comprimento desde t=0.
  1. Temos a relação entre s e t (do passo anterior). Para facilitar, escrevemos em termos de uma constante positiva
C:=\frac{a\sqrt{1+b^2}}{|b|}=\frac{a\sqrt{1+b^2}}{-b}>0.
Usando a forma s(t)=C\bigl(1-e^{b t}\bigr) (válida porque b<0), obtemos
1-e^{b t}=\frac{s}{C}\quad\Rightarrow\quad e^{b t}=1-\frac{s}{C}.
  1. Inverter para obter t em função de s:
t(s)=\frac{1}{b}\ln\!\Bigl(1-\frac{s}{C}\Bigr).
Observe o domínio: para s\in[0,C) o argumento do log é positivo; s=C corresponde ao comprimento total (limite quando t\to\infty), então a PPCA natural vai de s\in[0,C). Se desejar compactificar, pode-se considerar s\in[0,C] e tomar o limite em s\to C que envia t\to\infty.
  1. Agora escrevemos \beta(s)=\alpha\bigl(t(s)\bigr). Usamos que e^{b t(s)}=1-\dfrac{s}{C} para simplificar a componente radial. Assim
\beta(s)=\Bigl(a\bigl(1-\tfrac{s}{C}\bigr)\cos\bigl(t(s)\bigr),\; a\bigl(1-\tfrac{s}{C}\bigr)\sin\bigl(t(s)\bigr)\Bigr),
com
t(s)=\frac{1}{b}\ln\!\Bigl(1-\frac{s}{C}\Bigr),\qquad C=\frac{a\sqrt{1+b^2}}{-b}.
  1. Se quiser manipular a expressão para que não apareça C explicitamente, note que 1/C=(-b)/(a\sqrt{1+b^2})=b/( -a\sqrt{1+b^2}). Uma forma alternativa útil é
e^{b t(s)}=1+\frac{b s}{a\sqrt{1+b^2}},
então
t(s)=\frac{1}{b}\ln\!\Bigl(1+\frac{b s}{a\sqrt{1+b^2}}\Bigr),
e
\beta(s)=\Bigl(a\Bigl(1+\frac{b s}{a\sqrt{1+b^2}}\Bigr)\cos\!\bigl(t(s)\bigr),\; a\Bigl(1+\frac{b s}{a\sqrt{1+b^2}}\Bigr)\sin\!\bigl(t(s)\bigr)\Bigr).
Ambas as formas são equivalentes; a primeira com C é um pouco mais direta.
  1. Verificação rápida: por construção \beta'(s) tem norma 1 (é parametrização por comprimento) e \beta(0)=\alpha(0). O domínio natural é s\in[0,C), com C=\dfrac{a\sqrt{1+b^2}}{|b|}.

Resposta

(a) (0,0)
(b) \alpha é regular, pois \|\alpha'(t)\|=a e^{b t}\sqrt{1+b^2}>0 para todo t. O traço é uma espiral logarítmica r=a e^{b t}, que para b<0 vai enrolando no sentido anti-horário e aproximando-se da origem quando t\to+\infty.
(c) s(t)=\dfrac{a\sqrt{1+b^2}}{b}\bigl(e^{b t}-1\bigr)=\dfrac{a\sqrt{1+b^2}}{|b|}\bigl(1-e^{b t}\bigr). Comprimento total para t\in[0,\infty): \dfrac{a\sqrt{1+b^2}}{|b|}.
(d) Com C=\dfrac{a\sqrt{1+b^2}}{-b}>0,
\beta(s)=\Bigl(a\bigl(1-\tfrac{s}{C}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{1}{b}\ln(1-\tfrac{s}{C})\bigr),\;a\bigl(1-\tfrac{s}{C}\bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{1}{b}\ln(1-\tfrac{s}{C})\bigr)\Bigr),
definida para s\in[0,C), que é a reparametrização por comprimento de arco de \alpha.

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