Exercício 5. Considere a curva dada por
\alpha(t)=\left(\frac{2}{t^{2}+1}-1, \frac{2 t}{t^{2}+1}\right), t \in \mathbb{R}
a) Mostre que \alpha é regular;
b) Determine a função comprimento de arco de \alpha, S(t), \operatorname{com} S(0)=0. Determine o comprimento de \alpha quando t varia de 0 a 1 ;
c) Determine h=S^{-1}, destacando seu domínio. Seja \beta(s)=\alpha(h(s)) a reparametrização PPCA da curva \alpha. Verifique que
\beta(s)=(\cos (s), \operatorname{sen}(s))
d) Determine a função curvatura \kappa(s).

Passo 1

O enunciado dá a curva
\alpha(t)=\left(\frac{2}{t^{2}+1}-1,\; \frac{2t}{t^{2}+1}\right),\quad t\in\mathbb{R},
e pede quatro coisas separadas:
a) mostrar que \alpha é regular (ou seja, \alpha'(t)\neq 0 para todo t);
b) determinar a função comprimento de arco S(t) com S(0)=0 e calcular o comprimento quando t varia de 0 a 1;
c) determinar a inversa h=S^{-1}, explicitar seu domínio, e mostrar que a reparametrização por comprimento de arco \beta(s)=\alpha(h(s)) satisfaz
\beta(s)=(\cos s,\;\sin s);
d) determinar a curvatura \kappa(s) da curva reparametrizada por comprimento de arco.
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de \alpha(t) e o domínio t\in\mathbb{R}. Em seguida vamos trabalhar passo a passo.

Passo 2

Primeiro deixamos a expressão de \alpha numa forma mais familiar (isso facilita derivar e ver ligações trigonométricas). Manipulando a primeira componente:
\frac{2}{t^{2}+1}-1=\frac{2-(t^{2}+1)}{t^{2}+1}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}.
A segunda componente já está em forma simples:
\frac{2t}{t^{2}+1}.
Portanto podemos escrever
\alpha(t)=\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\;\frac{2t}{1+t^{2}}\right).
Comentário didático: essa forma é a conhecida representação por tangente do meio‑ângulo, que relaciona um parâmetro real t a um ponto do círculo unitário. Vamos usar essa forma para derivar com menos trabalho.

Passo 3

Agora calculamos a derivada \alpha'(t). Derivando componente a componente (use regra do quociente):
Para x(t)=\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}:
x'(t)=\frac{(-2t)(1+t^{2})-(1-t^{2})(2t)}{(1+t^{2})^{2}}.
Simplificando o numerador:
(-2t)(1+t^{2})-(1-t^{2})(2t)=-2t-2t^{3}-2t+2t^{3}=-4t.
Logo
x'(t)=\frac{-4t}{(1+t^{2})^{2}}.
Para y(t)=\dfrac{2t}{1+t^{2}}:
y'(t)=\frac{2(1+t^{2})-2t(2t)}{(1+t^{2})^{2}}=\frac{2+2t^{2}-4t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}=\frac{2(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}}.
Portanto
\alpha'(t)=\left(\frac{-4t}{(1+t^{2})^{2}},\;\frac{2(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}}\right).

Passo 4

Para mostrar regularidade precisamos ver que \alpha'(t)\neq 0 para todo t. Em vez de comparar componentes separadamente, calculemos a velocidade \|\alpha'(t)\|:
\|\alpha'(t)\|^{2}=\left(\frac{-4t}{(1+t^{2})^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{2(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}}\right)^{2}.
Colocando em evidência (1+t^{2})^{4} no denominador:
\|\alpha'(t)\|^{2}=\frac{16t^{2}+4(1-t^{2})^{2}}{(1+t^{2})^{4}}.
Expandindo (1-t^{2})^{2}=1-2t^{2}+t^{4} e somando:
16t^{2}+4(1-2t^{2}+t^{4})=16t^{2}+4-8t^{2}+4t^{4}=4+8t^{2}+4t^{4}=4(1+t^{2})^{2}.
Assim
\|\alpha'(t)\|^{2}=\frac{4(1+t^{2})^{2}}{(1+t^{2})^{4}}=\frac{4}{(1+t^{2})^{2}}.
Como (1+t^{2})^{2}>0 para todo t, obtemos
\|\alpha'(t)\|=\frac{2}{1+t^{2}}>0\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Portanto \alpha'(t)\neq 0 para todo t, o que mostra que \alpha é regular. Explicação didática: uma curva é regular se sua velocidade é diferente de zero em todos os pontos; aqui a velocidade nunca zera porque 1+t^{2} é sempre estritamente positiva.

Passo 5

Agora calculamos a função comprimento de arco S(t) com base na fórmula padrão:
S(t)=\int_{0}^{t}\|\alpha'(u)\|\,du.
Substituindo a velocidade encontrada,
S(t)=\int_{0}^{t}\frac{2}{1+u^{2}}\,du.
Lembrando que a primitiva de \dfrac{1}{1+u^{2}} é \arctan u, temos
S(t)=2\big[\arctan u\big]_{0}^{t}=2\arctan t-2\arctan 0=2\arctan t.
Observações didáticas: S(t) mede o comprimento do arco da curva entre t=0 e t. Como \|\alpha'(u)\|>0, S é estritamente crescente e S(0)=0, conforme pedido.

Passo 6

Comprimento da curva de t=0 a t=1:
\text{comprimento} = S(1)=2\arctan 1=2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.
Comentário encorajador: veja que ficou simples — a integral deu uma função trig inversa conhecida.

Passo 7

Determinamos agora a inversa h=S^{-1}. Da expressão S(t)=2\arctan t temos, para s=S(t),
s=2\arctan t \quad\Longrightarrow\quad \arctan t=\frac{s}{2}\quad\Longrightarrow\quad t=\tan\left(\frac{s}{2}\right).
Portanto
h(s)=\tan\left(\frac{s}{2}\right).
Quanto ao domínio de h: como \arctan t\in\big(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big) quando t\in\mathbb{R}, multiplicando por 2 obtemos
S(\mathbb{R})=\big(-\pi,\pi\big).
Logo h=S^{-1} tem domínio s\in(-\pi,\pi). Explicação didática: S é estritamente crescente e contínua de \mathbb{R} em (-\pi,\pi), portanto tem inversa definida nesse intervalo aberto.

Passo 8

Agora verificamos a reparametrização por comprimento de arco \beta(s)=\alpha(h(s)). Substituímos t=h(s)=\tan\big(\tfrac{s}{2}\big) na fórmula simplificada de \alpha:
\beta(s)=\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\;\frac{2t}{1+t^{2}}\right)\quad\text{com}\quad t=\tan\left(\frac{s}{2}\right).
Usamos as fórmulas de tangente do meio‑ângulo (identidades trigonométricas conhecidas):
\cos s=\frac{1-\tan^{2}\left(\frac{s}{2}\right)}{1+\tan^{2}\left(\frac{s}{2}\right)},\qquad \sin s=\frac{2\tan\left(\frac{s}{2}\right)}{1+\tan^{2}\left(\frac{s}{2}\right)}.
Comparando, vemos imediatamente que
\beta(s)=(\cos s,\;\sin s).
Comentário didático: essa verificação é padrão — a parametrização original por t é exatamente a parametrização racional do círculo unitário através da tangente do meio‑ângulo; reparametrizando por comprimento (ângulo) recuperamos a parametrização usual por (\cos s,\sin s).

Passo 9

Por fim calculamos a curvatura \kappa(s). Para uma curva parametrizada por comprimento de arco (isto é, unit‑speed), a curvatura é dada por
\kappa(s)=\|\beta''(s)\|.
Calculamos derivadas de \beta(s)=(\cos s,\sin s):
\beta'(s)=(-\sin s,\cos s),\qquad \beta''(s)=(-\cos s,-\sin s).
Então
\|\beta''(s)\|=\sqrt{(-\cos s)^{2}+(-\sin s)^{2}}=\sqrt{\cos^{2}s+\sin^{2}s}=1.
Portanto
\kappa(s)=1\quad\text{para todo }s\in(-\pi,\pi).
Explicação amigável: faz sentido — a curva reparametrizada é justamente o círculo unitário, cuja curvatura é a recíproca do raio, isto é 1.

Resposta

a) \alpha é regular, pois \|\alpha'(t)\|=\dfrac{2}{1+t^{2}}>0 para todo t\in\mathbb{R}.
b) S(t)=2\arctan t. Comprimento de \alpha de t=0 a t=1: \dfrac{\pi}{2}.
c) h(s)=\tan\!\left(\dfrac{s}{2}\right), com domínio s\in(-\pi,\pi). A reparametrização PPCA é \beta(s)=(\cos s,\;\sin s).
d) \kappa(s)=1 para todo s\in(-\pi,\pi).

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