Exercício 6 Considere
com o produto interno usual,
e
o espaço gerado por
. Obtenha a projeção de
sobre
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço
com o produto interno usual, o vetor
e o subespaço
. A tarefa é: obter a projeção ortogonal de
sobre
.\n
Informações relevantes:
.
(gerador de
).
(outro gerador de
).\n
O que precisa ser entregue: o vetor , ou seja a componente de
que fica em
.
Informações relevantes:
O que precisa ser entregue: o vetor
Passo 2
Explicando a ideia que vamos usar (passo a passo, como se fosse na prova): para projetar
em
convém tomar uma base ortonormal
de
. Com base ortonormal, a projeção é simples:
Aqui
é o produto interno usual (produto escalar): para
e
,
.\n
Para obter partimos dos vetores
e aplicamos o processo de Gram–Schmidt, normalizando no final. Vou fazer isso cuidadosamente.
Para obter
Passo 3
Começamos com
.\n
Calcule o comprimento (norma) de :
Calcule o comprimento (norma) de
Logo a primeira base ortonormal é
Passo 4
Agora ortogonalizamos
em relação a
. Primeiro calculamos a projeção de
sobre
:
Então
Subtraímos essa projeção de
para obter o componente ortogonal:
Passo 5
Normalizamos
para obter
. Calcule a norma de
:
Portanto
Agora temos a base ortonormal
de
.
Passo 6
Calculamos as coordenadas de
nessa base ortonormal, isto é
e
.\n
Primeiro:
Primeiro:
Logo a contribuição de
à projeção é
Passo 7
Agora
. Usando a forma de
:
A contribuição de
à projeção é então
Multiplicando os escalares:
Logo
Passo 8
Somamos as duas contribuições para obter a projeção total:
Somando componente a componente:
Portanto