Exercício 6 Considere \mathbb{R}^{3} com o produto interno usual, v=(3,0,2) e W o espaço gerado por \{(1,0,2),(1,1,1)\}. Obtenha a projeção de v sobre W.

Passo 1

O enunciado dá o espaço \mathbb{R}^3 com o produto interno usual, o vetor \,v=(3,0,2)\, e o subespaço W=\text{span}\{(1,0,2),(1,1,1)\}. A tarefa é: obter a projeção ortogonal de v sobre W.\n
Informações relevantes:
\;v=(3,0,2).
\;w_1=(1,0,2) (gerador de W).
\;w_2=(1,1,1) (outro gerador de W).\n
O que precisa ser entregue: o vetor \operatorname{proj}_{W}(v), ou seja a componente de v que fica em W.

Passo 2

Explicando a ideia que vamos usar (passo a passo, como se fosse na prova): para projetar v em W convém tomar uma base ortonormal \{u_1,u_2\} de W. Com base ortonormal, a projeção é simples:
\operatorname{proj}_{W}(v)=(v\cdot u_1)u_1+(v\cdot u_2)u_2.
Aqui \cdot é o produto interno usual (produto escalar): para (a_1,a_2,a_3) e (b_1,b_2,b_3), (a_1,a_2,a_3)\cdot(b_1,b_2,b_3)=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.\n
Para obter \{u_1,u_2\} partimos dos vetores w_1,w_2 e aplicamos o processo de Gram–Schmidt, normalizando no final. Vou fazer isso cuidadosamente.

Passo 3

Começamos com \,w_1=(1,0,2).\n
Calcule o comprimento (norma) de w_1:
\|w_1\|=\sqrt{1^2+0^2+2^2}=\sqrt{1+0+4}=\sqrt{5}.
Logo a primeira base ortonormal é
u_1=\frac{w_1}{\|w_1\|}=\frac{1}{\sqrt{5}}(1,0,2).

Passo 4

Agora ortogonalizamos w_2=(1,1,1) em relação a u_1. Primeiro calculamos a projeção de w_2 sobre u_1:
w_2\cdot u_1=(1,1,1)\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}(1,0,2)=\frac{1}{\sqrt{5}}(1\cdot1+1\cdot0+1\cdot2)=\frac{3}{\sqrt{5}}.
Então
\operatorname{proj}_{u_1}(w_2)=(w_2\cdot u_1)u_1=\frac{3}{\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}(1,0,2)=\frac{3}{5}(1,0,2).
Subtraímos essa projeção de w_2 para obter o componente ortogonal:
z=w_2-\operatorname{proj}_{u_1}(w_2)=(1,1,1)-\frac{3}{5}(1,0,2)=\left(1-\frac{3}{5},\,1-0,\,1-\frac{6}{5}\right)=\left(\frac{2}{5},\,1,\,-\frac{1}{5}\right).

Passo 5

Normalizamos z para obter u_2. Calcule a norma de z:
\|z\|=\sqrt{\left(\frac{2}{5}\right)^2+1^2+\left(-\frac{1}{5}\right)^2} =\sqrt{\frac{4}{25}+1+\frac{1}{25}} =\sqrt{\frac{4+25+1}{25}}=\sqrt{\frac{30}{25}}=\sqrt{\frac{6}{5}}.
Portanto
u_2=\frac{z}{\|z\|}=\frac{\left(\frac{2}{5},\,1,\,-\frac{1}{5}\right)}{\sqrt{\tfrac{6}{5}}} =\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\left(\frac{2}{5},\,1,\,-\frac{1}{5}\right).
Agora temos a base ortonormal \{u_1,u_2\} de W.

Passo 6

Calculamos as coordenadas de v nessa base ortonormal, isto é v\cdot u_1 e v\cdot u_2.\n
Primeiro:
v\cdot u_1=(3,0,2)\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}(1,0,2)=\frac{1}{\sqrt{5}}(3\cdot1+0\cdot0+2\cdot2)=\frac{7}{\sqrt{5}}.
Logo a contribuição de u_1 à projeção é
(v\cdot u_1)u_1=\frac{7}{\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}(1,0,2)=\frac{7}{5}(1,0,2)=\left(\frac{7}{5},\,0,\,\frac{14}{5}\right).

Passo 7

Agora v\cdot u_2. Usando a forma de u_2=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\left(\dfrac{2}{5},1,-\dfrac{1}{5}\right):
v\cdot u_2=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\left(3\cdot\frac{2}{5}+0\cdot1+2\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)\right) =\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\cdot\frac{4}{5}=\frac{4\sqrt{5}}{5\sqrt{6}}.
A contribuição de u_2 à projeção é então
(v\cdot u_2)u_2=\frac{4\sqrt{5}}{5\sqrt{6}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\left(\frac{2}{5},1,-\frac{1}{5}\right).
Multiplicando os escalares:
\frac{4\sqrt{5}}{5\sqrt{6}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}=\frac{4\cdot5}{5\cdot6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.
Logo
(v\cdot u_2)u_2=\frac{2}{3}\left(\frac{2}{5},1,-\frac{1}{5}\right)=\left(\frac{4}{15},\,\frac{2}{3},\,-\frac{2}{15}\right).

Passo 8

Somamos as duas contribuições para obter a projeção total:
\operatorname{proj}_{W}(v)=\left(\frac{7}{5},0,\frac{14}{5}\right)+\left(\frac{4}{15},\frac{2}{3},-\frac{2}{15}\right).
Somando componente a componente:
\text{primeira: }\frac{7}{5}+\frac{4}{15}=\frac{21+4}{15}=\frac{25}{15}=\frac{5}{3},
\text{segunda: }0+\frac{2}{3}=\frac{2}{3},
\text{terceira: }\frac{14}{5}-\frac{2}{15}=\frac{42-2}{15}=\frac{40}{15}=\frac{8}{3}.
Portanto
\operatorname{proj}_{W}(v)=\left(\frac{5}{3},\,\frac{2}{3},\,\frac{8}{3}\right).

Resposta

\left(\dfrac{5}{3},\,\dfrac{2}{3},\,\dfrac{8}{3}\right)

Exercícios relacionados