Exercício 2 Verifique se os conjuntos abaixo são ortonormais. V=\mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}), \operatorname{com}\langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(B^{t} A\right).
O enunciado pede para verificar se o conjunto S é ortonormal no espaço vetorial V=\mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}) com produto interno dado por \langle A,B\rangle=\operatorname{tr}\!\left(B^{t}A\right).\n
O conjunto S fornecido é
Pergunta clara: “O conjunto S é ortonormal?” — ou seja, todos os vetores são mutuamente ortogonais e todos têm norma 1.]
Passo 2
Relembrando as definições e a fórmula útil (aula rápida):\n
Um conjunto de vetores é ortonormal se, para quaisquer X,Y do conjunto,\n\langle X,Y\rangle = 0\quad\text{quando }X\neq Y(ortogonalidade), e\|X\|=\sqrt{\langle X,X\rangle}=1para todo X do conjunto (normalização).\n
Propriedade importante do traço: se A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}) então\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}\!\left(B^{t}A\right)=\sum_{i,j}a_{ij}b_{ij}.Explicação curta: o elemento (B^{t}A)_{ii}=\sum_{k}b_{ki}a_{ki}, somando em i permuta índices e dá a soma dos produtos entrada a entrada (produto de Frobenius). Isso facilita cálculos: basta multiplicar entrada a entrada e somar.
Passo 3
Calcule \langle A_1,A_1\rangle e \|A_1\|.\n
Usando a fórmula por entradas: A_1 tem entradas a_{11}=1 e as demais 0. Então
Conclusão parcial: todos os pares distintos têm produto interno zero, ou seja, A_1,A_2,A_3 são mutuamente ortogonais.
Passo 7
Juntando as informações: o conjunto S é ortogonal (pares distintos são ortogonais). Para ser ortonormal falta que cada vetor tenha norma 1. Vimos que
\|A_1\|=1,\quad \|A_2\|=\sqrt{2},\quad \|A_3\|=1.
Portanto apenas A_2 não tem norma 1. Se quiséssemos transformar S em um conjunto ortonormal mantendo direções, bastaria normalizar A_2 dividindo por \sqrt{2}: \widetilde{A_2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}A_2.
Resposta
Não. O conjunto S é ortogonal, mas não é ortonormal, pois \|A_2\|=\sqrt{2}\neq 1.