Exercício 2 Verifique se os conjuntos abaixo são ortonormais.
V=\mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}), \operatorname{com}\langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(B^{t} A\right).
S=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto S é ortonormal no espaço vetorial V=\mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}) com produto interno dado por \langle A,B\rangle=\operatorname{tr}\!\left(B^{t}A\right).\n
O conjunto S fornecido é
S=\left\{\,A_1=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\; A_2=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\; A_3=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}\,\right\}.
Pergunta clara: “O conjunto S é ortonormal?” — ou seja, todos os vetores são mutuamente ortogonais e todos têm norma 1.]

Passo 2

Relembrando as definições e a fórmula útil (aula rápida):\n
  • Um conjunto de vetores é ortonormal se, para quaisquer X,Y do conjunto,\n \langle X,Y\rangle = 0\quad\text{quando }X\neq Y(ortogonalidade), e \|X\|=\sqrt{\langle X,X\rangle}=1para todo X do conjunto (normalização).\n
  • Propriedade importante do traço: se A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}) então \langle A,B\rangle=\operatorname{tr}\!\left(B^{t}A\right)=\sum_{i,j}a_{ij}b_{ij}.Explicação curta: o elemento (B^{t}A)_{ii}=\sum_{k}b_{ki}a_{ki}, somando em i permuta índices e dá a soma dos produtos entrada a entrada (produto de Frobenius). Isso facilita cálculos: basta multiplicar entrada a entrada e somar.

Passo 3

Calcule \langle A_1,A_1\rangle e \|A_1\|.\n
Usando a fórmula por entradas: A_1 tem entradas a_{11}=1 e as demais 0. Então
\langle A_1,A_1\rangle=\sum_{i,j}(A_1)_{ij}(A_1)_{ij}=1^2+0+0+0=1.
Portanto
\|A_1\|=\sqrt{\langle A_1,A_1\rangle}=\sqrt{1}=1.
Interpretação: A_1 já tem norma unitária.

Passo 4

Calcule \langle A_2,A_2\rangle e \|A_2\|.\n
As entradas de A_2 são (A_2)_{12}=1 e (A_2)_{22}=1, as demais 0. Logo
\langle A_2,A_2\rangle=0+1^2+0+1^2=2.
Portanto
\|A_2\|=\sqrt{\langle A_2,A_2\rangle}=\sqrt{2}.
Interpretação: A_2 não tem norma 1; sua norma é \sqrt{2}.

Passo 5

Calcule \langle A_3,A_3\rangle e \|A_3\|.\n
As entradas de A_3 são (A_3)_{21}=1 e as demais 0. Então
\langle A_3,A_3\rangle=0+0+1^2+0=1,
e
\|A_3\|=\sqrt{1}=1.
Interpretação: A_3 tem norma unitária.

Passo 6

Verifique a ortogonalidade calculando os produtos internos mistos:\n
  1. \langle A_1,A_2\rangle: multiplicando entrada a entrada e somando,
\langle A_1,A_2\rangle= (1\cdot 0) + (0\cdot 1) + (0\cdot 0) + (0\cdot 1)=0.
  1. \langle A_1,A_3\rangle:
\langle A_1,A_3\rangle= (1\cdot 0) + (0\cdot 0) + (0\cdot 1) + (0\cdot 0)=0.
  1. \langle A_2,A_3\rangle:
\langle A_2,A_3\rangle= (0\cdot 0) + (1\cdot 0) + (0\cdot 1) + (1\cdot 0)=0.
Conclusão parcial: todos os pares distintos têm produto interno zero, ou seja, A_1,A_2,A_3 são mutuamente ortogonais.

Passo 7

Juntando as informações: o conjunto S é ortogonal (pares distintos são ortogonais). Para ser ortonormal falta que cada vetor tenha norma 1. Vimos que
\|A_1\|=1,\quad \|A_2\|=\sqrt{2},\quad \|A_3\|=1.
Portanto apenas A_2 não tem norma 1. Se quiséssemos transformar S em um conjunto ortonormal mantendo direções, bastaria normalizar A_2 dividindo por \sqrt{2}: \widetilde{A_2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}A_2.

Resposta

Não. O conjunto S é ortogonal, mas não é ortonormal, pois \|A_2\|=\sqrt{2}\neq 1.

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