Exercício 6. Considere a seguinte parametrização para a hélice circular:
\alpha(t)=(a \cos (t), a \operatorname{sen}(t), b t)
\operatorname{com} t \in \mathbb{R} e a, b>0.
a) Esboce a curva destacando o sentido em que a curva é percorrida. \alpha(t) é uma parametrização regular? Se sim, determine sua função comprimento de arco;
b) Reparametrize \alpha(t) pelo comprimento de arco. Denote esta reparametrização por \beta(s);
c) Determine o triedro de Frenet \{T(s), N(s), B(s)\} e as funções curvatura \kappa(s) e torção \tau(s);
d) Verifique que as retas tangentes a \beta formam um ângulo constante com o eixo z;
e) Verifique que reta contendo \beta(s) com vetor diretor N(s) (reta normal) é ortogonal ao eixo z;

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
\alpha(t) = \bigl(a\cos(t),\; a\sin(t),\; b t\bigr),\qquad t\in\mathbb{R},\; a>0,\; b>0,
e pede:
  1. (a) um esboço da curva com o sentido em que ela é percorrida; verificar se \alpha(t) é regular; e, se for, determinar a função comprimento de arco;
  2. (b) reparametrizar \alpha pelo comprimento de arco e chamar a nova parametrização de \beta(s);
  3. (c) determinar o triedro de Frenet \{T(s),N(s),B(s)\} e as funções curvatura \kappa(s) e torção \tau(s);
  4. (d) mostrar que as retas tangentes a \beta formam um ângulo constante com o eixo z;
  5. (e) mostrar que a reta contendo \beta(s) com vetor diretor N(s) é ortogonal ao eixo z.
As informações relevantes dadas são: a forma explícita de \alpha(t), domínio t\in\mathbb{R}, e constantes positivas a,b. Não há figura fornecida — pedido de esboço deve ser feito descrevendo a geometria da curva e o sentido de percurso.

Passo 2

(a) Verificação de regularidade e comprimento de arco — conceitos e cálculo passo a passo.
Definição (explicada): uma parametrização \alpha(t) é regular se sua derivada \alpha'(t) não for o vetor zero para todo t. A derivada dá a velocidade instantânea; se for sempre não nula, a curva não “para” em ponto algum.
Calculemos \alpha'(t). Diferenciando componente a componente:
\alpha'(t)=\bigl(-a\sin(t),\; a\cos(t),\; b\bigr).
Agora o comprimento do vetor velocidade (a norma) é
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{(-a\sin t)^2+(a\cos t)^2+b^2} =\sqrt{a^2(\sin^2 t+\cos^2 t)+b^2} =\sqrt{a^2+b^2}.
Observações didáticas: usamos \sin^2 t+\cos^2 t=1, portanto a norma resultou numa constante independente de t.
Como \|\alpha'(t)\|=\sqrt{a^2+b^2}>0 (porque a,b>0), concluímos que \alpha'(t)\neq 0 para todo t. Portanto \alpha é regular.
Agora a função comprimento de arco: para uma parametrização regular, o comprimento de arco s medido desde algum t_0 até t é
s(t)=\int_{t_0}^{t}\|\alpha'(u)\|\,du.
Aqui \|\alpha'(u)\|=\sqrt{a^2+b^2} é constante, então a integral é simples:
s(t)=\sqrt{a^2+b^2}\, (t-t_0).
Convenção usual: escolhemos t_0=0 para ter s(0)=0. Assim
s(t)=\sqrt{a^2+b^2}\; t.
Esboço e sentido (descrição): a projeção de \alpha(t) no plano xy é (a\cos t,a\sin t), ou seja, um círculo de raio a centrado na origem. A coordenada z cresce linearmente com t (pois z=b t e b>0), então a curva é uma hélice circular que sobe ao redor do eixo z. Para t crescente, o ponto percorre o círculo no sentido anti-horário visto de cima (em xy) enquanto sobe — portanto a hélice vai para cima à medida que t aumenta.

Passo 3

(b) Reparametrização por comprimento de arco — conceitos e cálculo.
Explicação didática: reparametrizar por comprimento de arco significa usar s (comprimento medido desde um t_0) como parâmetro. Já temos s=\sqrt{a^2+b^2}\,t com t_0=0. Inverter essa relação dá t=\dfrac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}.
Defina v:=\sqrt{a^2+b^2} (abreviação conveniente). Então t=\dfrac{s}{v}. A reparametrização por comprimento de arco é
\beta(s)=\alpha\!\Bigl(\frac{s}{v}\Bigr) =\Bigl(a\cos\!\bigl(\tfrac{s}{v}\bigr),\; a\sin\!\bigl(\tfrac{s}{v}\bigr),\; b\frac{s}{v}\Bigr), \qquad s\in\mathbb{R}.
Checagem: derivando \beta em relação a s, deve-se obter \|\beta'(s)\|=1. Vamos conferir:
\beta'(s)=\Bigl(-\frac{a}{v}\sin\!\bigl(\tfrac{s}{v}\bigr),\; \frac{a}{v}\cos\!\bigl(\tfrac{s}{v}\bigr),\; \frac{b}{v}\Bigr),
e
\|\beta'(s)\|=\sqrt{\bigl(\tfrac{a}{v}\bigr)^2(\sin^2+\cos^2)+\bigl(\tfrac{b}{v}\bigr)^2} =\sqrt{\tfrac{a^2+b^2}{v^2}}=1,
porque v^2=a^2+b^2. Logo \beta é parametrização por comprimento de arco correta.

Passo 4

(c) Fórmulas do triedro de Frenet — conceito e aplicação.
Conceitos essenciais (explicados):
  • Para uma curva parametrizada por comprimento de arco s, o vetor tangente unitário é T(s)=\beta'(s).
  • A curvatura \kappa(s) mede a taxa de variação de T em relação a s: \kappa(s)=\|T'(s)\|.
  • O vetor normal unitário é N(s)=\dfrac{T'(s)}{\kappa(s)} (direção da variação de T).
  • O binormal unitário é B(s)=T(s)\times N(s).
  • A torção \tau(s) mede a variação do plano osculador e pode ser obtida por \tau(s)=-\langle B'(s),N(s)\rangle.
Agora aplicamos passo a passo usando \beta(s) encontrada.
Já temos
T(s)=\beta'(s)=\Bigl(-\frac{a}{v}\sin\!\bigl(\tfrac{s}{v}\bigr),\; \frac{a}{v}\cos\!\bigl(\tfrac{s}{v}\bigr),\; \frac{b}{v}\Bigr).
Calcule T'(s) componente a componente (lembrando que a derivada de \sin(\tfrac{s}{v}) é \tfrac{1}{v}\cos(\tfrac{s}{v})):
T'(s)=\Bigl(-\frac{a}{v^2}\cos\!\bigl(\tfrac{s}{v}\bigr),\; -\frac{a}{v^2}\sin\!\bigl(\tfrac{s}{v}\bigr),\; 0\Bigr).
A curvatura é a norma de T'(s):
\kappa(s)=\|T'(s)\| =\sqrt{\Bigl(\frac{a}{v^2}\Bigr)^2\bigl(\cos^2+\sin^2\bigr)} =\frac{a}{v^2}.
Como v^2=a^2+b^2, escrevemos a curvatura em forma mais explícita:
\kappa(s)=\frac{a}{a^2+b^2},
que é constante (independe de s).
Agora o vetor normal:
N(s)=\frac{T'(s)}{\kappa(s)} =\frac{\bigl(-\tfrac{a}{v^2}\cos(\tfrac{s}{v}),\; -\tfrac{a}{v^2}\sin(\tfrac{s}{v}),\;0\bigr)}{\tfrac{a}{v^2}} =\bigl(-\cos\!\tfrac{s}{v},\; -\sin\!\tfrac{s}{v},\;0\bigr).
Checagem: \|N(s)\|=1 porque \cos^2+\sin^2=1.
Agora o binormal B(s)=T(s)\times N(s). Façamos o produto vetorial com cuidado (escrevendo \theta=\tfrac{s}{v} para clareza interna dos cálculos):
Tiremos T=(T_1,T_2,T_3)=\bigl(-\tfrac{a}{v}\sin\theta,\; \tfrac{a}{v}\cos\theta,\; \tfrac{b}{v}\bigr) e N=(N_1,N_2,N_3)=(-\cos\theta,-\sin\theta,0). O produto vetorial dá
B(s)=\Bigl(\frac{b}{v}\sin\theta,\; -\frac{b}{v}\cos\theta,\; \frac{a}{v}\Bigr).
Verificação rápida da norma:
\|B(s)\|^2=\Bigl(\frac{b}{v}\Bigr)^2(\sin^2+\cos^2)+\Bigl(\frac{a}{v}\Bigr)^2=\frac{b^2+a^2}{v^2}=1,
portanto B(s) é unitário.
Finalmente, a torção. Usamos \tau(s)=-\langle B'(s),N(s)\rangle. Calculamos B'(s) (derivando as componentes; lembrar \theta'=\tfrac{1}{v}):
B'(s)=\Bigl(\frac{b}{v^2}\cos\theta,\; \frac{b}{v^2}\sin\theta,\;0\Bigr).
Agora o produto interno com N(s)=(-\cos\theta,-\sin\theta,0) é
\langle B'(s),N(s)\rangle =\frac{b}{v^2}\bigl(\cos\theta(-\cos\theta)+\sin\theta(-\sin\theta)\bigr) =\frac{b}{v^2}(-1)=-\frac{b}{v^2}.
Portanto
\tau(s)=-\langle B'(s),N(s)\rangle=-\bigl(-\tfrac{b}{v^2}\bigr)=\frac{b}{v^2}.
Usando v^2=a^2+b^2 obtemos a forma explícita
\tau(s)=\frac{b}{a^2+b^2},
que também é constante.
Resumo das expressões encontradas (todas dependem apenas de s via \theta=\tfrac{s}{v}):
T(s)=\Bigl(-\frac{a}{v}\sin\!\tfrac{s}{v},\;\frac{a}{v}\cos\!\tfrac{s}{v},\;\frac{b}{v}\Bigr),
N(s)=\bigl(-\cos\!\tfrac{s}{v},\; -\sin\!\tfrac{s}{v},\; 0\bigr),
B(s)=\Bigl(\frac{b}{v}\sin\!\tfrac{s}{v},\; -\frac{b}{v}\cos\!\tfrac{s}{v},\; \frac{a}{v}\Bigr),
\kappa=\frac{a}{a^2+b^2},\qquad \tau=\frac{b}{a^2+b^2}.

Passo 5

(d) Retas tangentes formam ângulo constante com o eixo z.
Explicação e cálculo: o eixo z tem vetor diretor unitário k=(0,0,1). O cosseno do ângulo \varphi entre o vetor tangente unitário T(s) e k é
\cos\varphi=\langle T(s),k\rangle.
Pelo componente z de T(s) temos
\langle T(s),k\rangle = \frac{b}{v}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},
que é independente de s. Logo o ângulo é constante e dado por \varphi=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\bigr).
Interpretação: isso é intuitivo — a hélice sobe com uma razão vertical constante por volta, então a tangente mantém inclinação constante relativa ao eixo vertical.

Passo 6

(e) Retas normais são ortogonais ao eixo z.
Explicação e cálculo: a reta normal em s tem direção N(s). Para mostrar que essa reta é ortogonal ao eixo z basta verificar que N(s) é ortogonal ao vetor k=(0,0,1), isto é, \langle N(s),k\rangle=0. Observando a expressão de N(s) temos sua componente z igual a zero:
N(s)=\bigl(-\cos\!\tfrac{s}{v},\; -\sin\!\tfrac{s}{v},\;0\bigr),
logo
\langle N(s),k\rangle = 0.
Portanto a direção normal é sempre perpendicular ao eixo z, e assim a reta contendo \beta(s) com vetor diretor N(s) é ortogonal ao eixo z.

Resposta

(a) A curva é uma hélice circular de raio a cuja projeção no plano xy é o círculo de raio a; para t crescente o ponto percorre o círculo em sentido anti-horário visto de cima e sobe (pois b>0). \alpha é regular, pois \|\alpha'(t)\|=\sqrt{a^2+b^2}>0. Comprimento de arco (com s(0)=0):
s(t)=\sqrt{a^2+b^2}\;t.
(b) Reparametrização por comprimento de arco (com v=\sqrt{a^2+b^2}):
\beta(s)=\Bigl(a\cos\!\bigl(\tfrac{s}{v}\bigr),\; a\sin\!\bigl(\tfrac{s}{v}\bigr),\; b\frac{s}{v}\Bigr).
(c) Triedro de Frenet e invariantes (com v=\sqrt{a^2+b^2}):
T(s)=\Bigl(-\frac{a}{v}\sin\!\tfrac{s}{v},\;\frac{a}{v}\cos\!\tfrac{s}{v},\;\frac{b}{v}\Bigr),
N(s)=\bigl(-\cos\!\tfrac{s}{v},\; -\sin\!\tfrac{s}{v},\;0\bigr),
B(s)=\Bigl(\frac{b}{v}\sin\!\tfrac{s}{v},\; -\frac{b}{v}\cos\!\tfrac{s}{v},\; \frac{a}{v}\Bigr),
\kappa=\frac{a}{a^2+b^2},\qquad \tau=\frac{b}{a^2+b^2}.
(d) O ângulo entre as tangentes e o eixo z é constante, com
\cos\varphi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}.
(e) As retas normais têm vetor diretor N(s) cuja componente z é zero, logo são ortogonais ao eixo z (pois \langle N(s),(0,0,1)\rangle=0).

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