Exercício 6. Considere a seguinte parametrização para a hélice circular:
e
.
a) Esboce a curva destacando o sentido em que a curva é percorrida.
é uma parametrização regular? Se sim, determine sua função comprimento de arco;
b) Reparametrize
pelo comprimento de arco. Denote esta reparametrização por
;
c) Determine o triedro de Frenet
e as funções curvatura
e torção
;
d) Verifique que as retas tangentes a
formam um ângulo constante com o eixo
;
e) Verifique que reta contendo
com vetor diretor
(reta normal) é ortogonal ao eixo
;
a) Esboce a curva destacando o sentido em que a curva é percorrida.
b) Reparametrize
c) Determine o triedro de Frenet
d) Verifique que as retas tangentes a
e) Verifique que reta contendo
Passo 1
O enunciado dá a parametrização
e pede:
- (a) um esboço da curva com o sentido em que ela é percorrida; verificar se
é regular; e, se for, determinar a função comprimento de arco; - (b) reparametrizar
pelo comprimento de arco e chamar a nova parametrização de ; - (c) determinar o triedro de Frenet
e as funções curvatura e torção ; - (d) mostrar que as retas tangentes a
formam um ângulo constante com o eixo ; - (e) mostrar que a reta contendo
com vetor diretor é ortogonal ao eixo .
As informações relevantes dadas são: a forma explícita de
, domínio
, e constantes positivas
. Não há figura fornecida — pedido de esboço deve ser feito descrevendo a geometria da curva e o sentido de percurso.
Passo 2
(a) Verificação de regularidade e comprimento de arco — conceitos e cálculo passo a passo.
Definição (explicada): uma parametrização
é regular se sua derivada
não for o vetor zero para todo
. A derivada dá a velocidade instantânea; se for sempre não nula, a curva não “para” em ponto algum.
Calculemos
. Diferenciando componente a componente:
Agora o comprimento do vetor velocidade (a norma) é
Observações didáticas: usamos
, portanto a norma resultou numa constante independente de
.
Como
(porque
), concluímos que
para todo
. Portanto
é regular.
Agora a função comprimento de arco: para uma parametrização regular, o comprimento de arco
medido desde algum
até
é
Aqui
é constante, então a integral é simples:
Convenção usual: escolhemos
para ter
. Assim
Esboço e sentido (descrição): a projeção de
no plano
é
, ou seja, um círculo de raio
centrado na origem. A coordenada
cresce linearmente com
(pois
e
), então a curva é uma hélice circular que sobe ao redor do eixo
. Para
crescente, o ponto percorre o círculo no sentido anti-horário visto de cima (em
) enquanto sobe — portanto a hélice vai para cima à medida que
aumenta.
Passo 3
(b) Reparametrização por comprimento de arco — conceitos e cálculo.
Explicação didática: reparametrizar por comprimento de arco significa usar
(comprimento medido desde um
) como parâmetro. Já temos
com
. Inverter essa relação dá
.
Defina
(abreviação conveniente). Então
. A reparametrização por comprimento de arco é
Checagem: derivando
em relação a
, deve-se obter
. Vamos conferir:
e
porque
. Logo
é parametrização por comprimento de arco correta.
Passo 4
(c) Fórmulas do triedro de Frenet — conceito e aplicação.
Conceitos essenciais (explicados):
- Para uma curva parametrizada por comprimento de arco
, o vetor tangente unitário é . - A curvatura
mede a taxa de variação de em relação a : . - O vetor normal unitário é
(direção da variação de ). - O binormal unitário é
. - A torção
mede a variação do plano osculador e pode ser obtida por .
Agora aplicamos passo a passo usando
encontrada.
Já temos
Calcule
componente a componente (lembrando que a derivada de
é
):
A curvatura é a norma de
:
Como
, escrevemos a curvatura em forma mais explícita:
que é constante (independe de
).
Agora o vetor normal:
Checagem:
porque
.
Agora o binormal
. Façamos o produto vetorial com cuidado (escrevendo
para clareza interna dos cálculos):
Tiremos e
. O produto vetorial dá
Tiremos
Verificação rápida da norma:
portanto
é unitário.
Finalmente, a torção. Usamos
. Calculamos
(derivando as componentes; lembrar
):
Agora o produto interno com
é
Portanto
Usando
obtemos a forma explícita
que também é constante.
Resumo das expressões encontradas (todas dependem apenas de
via
):
Passo 5
(d) Retas tangentes formam ângulo constante com o eixo
.
Explicação e cálculo: o eixo
tem vetor diretor unitário
. O cosseno do ângulo
entre o vetor tangente unitário
e
é
Pelo componente
de
temos
que é independente de
. Logo o ângulo é constante e dado por
.
Interpretação: isso é intuitivo — a hélice sobe com uma razão vertical constante por volta, então a tangente mantém inclinação constante relativa ao eixo vertical.
Passo 6
(e) Retas normais são ortogonais ao eixo
.
Explicação e cálculo: a reta normal em
tem direção
. Para mostrar que essa reta é ortogonal ao eixo
basta verificar que
é ortogonal ao vetor
, isto é,
. Observando a expressão de
temos sua componente
igual a zero:
logo
Portanto a direção normal é sempre perpendicular ao eixo
, e assim a reta contendo
com vetor diretor
é ortogonal ao eixo
.
Resposta
(a) A curva é uma hélice circular de raio
cuja projeção no plano
é o círculo de raio
; para
crescente o ponto percorre o círculo em sentido anti-horário visto de cima e sobe (pois
).
é regular, pois
. Comprimento de arco (com
):
(b) Reparametrização por comprimento de arco (com
):
(c) Triedro de Frenet e invariantes (com
):
(d) O ângulo entre as tangentes e o eixo
é constante, com
(e) As retas normais têm vetor diretor
cuja componente
é zero, logo são ortogonais ao eixo
(pois
).