Exercício 5. Considere a curva dada por
a) Mostre que
é regular;
b) Determine a função comprimento de arco de
. Determine o comprimento de
quando
varia de 0 a 1 ;
c) Determine
, destacando seu domínio. Seja
a reparametrização PPCA da curva
. Verifique que
d) Determine a função curvatura
.
b) Determine a função comprimento de arco de
c) Determine
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede quatro coisas separadas:
a) mostrar que é regular (ou seja,
para todo
);
b) determinar a função comprimento de arco com
e calcular o comprimento quando
varia de
a
;
c) determinar a inversa , explicitar seu domínio, e mostrar que a reparametrização por comprimento de arco
satisfaz
a) mostrar que
b) determinar a função comprimento de arco
c) determinar a inversa
d) determinar a curvatura
da curva reparametrizada por comprimento de arco.
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de
e o domínio
. Em seguida vamos trabalhar passo a passo.
Passo 2
Primeiro deixamos a expressão de
numa forma mais familiar (isso facilita derivar e ver ligações trigonométricas). Manipulando a primeira componente:
A segunda componente já está em forma simples:
Portanto podemos escrever
Comentário didático: essa forma é a conhecida representação por tangente do meio‑ângulo, que relaciona um parâmetro real
a um ponto do círculo unitário. Vamos usar essa forma para derivar com menos trabalho.
Passo 3
Agora calculamos a derivada
. Derivando componente a componente (use regra do quociente):
Para :
Para
Simplificando o numerador:
Logo
Para
:
Portanto
Passo 4
Para mostrar regularidade precisamos ver que
para todo
. Em vez de comparar componentes separadamente, calculemos a velocidade
:
Colocando em evidência
no denominador:
Expandindo
e somando:
Assim
Como
para todo
, obtemos
Portanto
para todo
, o que mostra que
é regular. Explicação didática: uma curva é regular se sua velocidade é diferente de zero em todos os pontos; aqui a velocidade nunca zera porque
é sempre estritamente positiva.
Passo 5
Agora calculamos a função comprimento de arco
com base na fórmula padrão:
Substituindo a velocidade encontrada,
Lembrando que a primitiva de
é
, temos
Observações didáticas:
mede o comprimento do arco da curva entre
e
. Como
,
é estritamente crescente e
, conforme pedido.
Passo 6
Comprimento da curva de
a
:
Comentário encorajador: veja que ficou simples — a integral deu uma função trig inversa conhecida.
Passo 7
Determinamos agora a inversa
. Da expressão
temos, para
,
Portanto
Quanto ao domínio de
: como
quando
, multiplicando por
obtemos
Logo
tem domínio
. Explicação didática:
é estritamente crescente e contínua de
em
, portanto tem inversa definida nesse intervalo aberto.
Passo 8
Agora verificamos a reparametrização por comprimento de arco
. Substituímos
na fórmula simplificada de
:
Usamos as fórmulas de tangente do meio‑ângulo (identidades trigonométricas conhecidas):
Comparando, vemos imediatamente que
Comentário didático: essa verificação é padrão — a parametrização original por
é exatamente a parametrização racional do círculo unitário através da tangente do meio‑ângulo; reparametrizando por comprimento (ângulo) recuperamos a parametrização usual por
.
Passo 9
Por fim calculamos a curvatura
. Para uma curva parametrizada por comprimento de arco (isto é, unit‑speed), a curvatura é dada por
Calculamos derivadas de
:
Então
Portanto
Explicação amigável: faz sentido — a curva reparametrizada é justamente o círculo unitário, cuja curvatura é a recíproca do raio, isto é
.
Resposta
a)
é regular, pois
para todo
.
b) . Comprimento de
de
a
:
.
c) , com domínio
. A reparametrização PPCA é
.
d) para todo
.
b)
c)
d)