Exercício 1. Considere a sequência \left(a_{k}\right)_{k \geq 1} definida por a_{k}=k^{3}.
(a) Encontre uma sequência \left(b_{k}\right)_{k \geq 1} tal que \Delta b_{k}=a_{k}, ou seja, b_{k}=\Delta^{-1}\left(k^{3}\right).
(b) Use o Teorema Fundamental da Somação para encontrar
\sum_{k=1}^{n} k^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3} \ldots+n^{3} .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas bem claras:
  • (a) Encontrar uma sequência \left(b_{k}\right)_{k\ge 1} tal que \Delta b_{k}=a_{k} para todo k\ge1, onde foi dada a_{k}=k^{3}. Ou seja, achar b_{k} com
\Delta b_{k}=b_{k+1}-b_{k}=k^{3}.
  • (b) Usar o Teorema Fundamental da Somação para calcular
\sum_{k=1}^{n} k^{3}.
Informações relevantes: a_{k}=k^{3} para todo k\ge1. Não há outras restrições sobre b_{k} além de satisfazer \Delta b_{k}=k^{3} (uma constante aditiva em b_{k} é permitida).

Passo 2

Entendendo o operador \Delta e o Teorema Fundamental da Somação (TFDS), de forma bem didática:
  • Definição do operador diferença: para uma sequência \left(b_{k}\right),
\Delta b_{k}=b_{k+1}-b_{k}.
Isto é o análogo discreto da derivada/variação; \Delta reduz “grau polinomial” (se b_k é polinomial em k de grau m, então \Delta b_k tem grau m-1).
  • Teorema Fundamental da Somação (versão telescópica): se \Delta b_{k}=a_{k}, então somando de k=1 até n obtemos
\sum_{k=1}^{n} a_{k}=\sum_{k=1}^{n} \Delta b_{k}=\sum_{k=1}^{n} (b_{k+1}-b_{k})=b_{n+1}-b_{1}.
Isto é exatamente o análogo discreto do Teorema Fundamental do Cálculo: a soma das diferenças telescopa.

Passo 3

Estratégia para (a): como a_{k}=k^{3} é um polinómio em k de grau 3, faz muito sentido procurar b_{k} como um polinómio em k de grau 4. Assim assumimos a forma geral
b_{k}=A k^{4}+B k^{3}+C k^{2}+D k+E,
onde A,B,C,D,E são constantes a determinar. (Qualquer constante E funciona para a diferença; podemos escolher E conveniente no final.)

Passo 4

Calcular \Delta b_{k}=b_{k+1}-b_{k} usando a forma polinomial e as expansões simples:
(k+1)^{4}-k^{4}=4k^{3}+6k^{2}+4k+1,
(k+1)^{3}-k^{3}=3k^{2}+3k+1,
(k+1)^{2}-k^{2}=2k+1,
(k+1)-k=1.
Portanto
\Delta b_{k}=A(4k^{3}+6k^{2}+4k+1)+B(3k^{2}+3k+1)+C(2k+1)+D.

Passo 5

Colocar \Delta b_{k} na forma polinomial e igualar coeficientes a k^{3} (pois queremos \Delta b_{k}=k^{3}):
Coeficientes por potência de k:
  • coeficiente de k^{3}: 4A,
  • coeficiente de k^{2}: 6A+3B,
  • coeficiente de k: 4A+3B+2C,
  • termo constante: A+B+C+D.
Queremos que isso seja igual ao polinómio 1\cdot k^{3}+0\cdot k^{2}+0\cdot k+0. Assim o sistema é
\begin{cases} 4A=1,\\[4pt] 6A+3B=0,\\[4pt] 4A+3B+2C=0,\\[4pt] A+B+C+D=0. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema passo a passo:
  • Da primeira equação: 4A=1 então A=\dfrac{1}{4}.
  • Substituindo na segunda: 6\cdot\dfrac{1}{4}+3B=0 \dfrac{3}{2}+3B=0, logo 3B=-\dfrac{3}{2} e B=-\dfrac{1}{2}.
  • Substituindo A,B na terceira: 4\cdot\dfrac{1}{4}+3\left(-\dfrac{1}{2}\right)+2C=0. Calculando: 1-\dfrac{3}{2}+2C=0 então -\dfrac{1}{2}+2C=0, portanto 2C=\dfrac{1}{2} e C=\dfrac{1}{4}.
  • Finalmente da quarta: A+B+C+D=0 implica \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+D=0. O somatório \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=0, logo D=0.
A constante E permanece livre (qualquer E funciona). Para simplificar escolhemos E=0 (isso faz b_{1}=0, que é conveniente para aplicar o TFDS).

Passo 7

Escrever b_{k} com os coeficientes encontrados:
b_{k}=\dfrac{1}{4}k^{4}-\dfrac{1}{2}k^{3}+\dfrac{1}{4}k^{2}.
Fatorando:
b_{k}=\dfrac{1}{4}k^{2}\bigl(k^{2}-2k+1\bigr)=\dfrac{1}{4}k^{2}(k-1)^{2}.
Verificação rápida (opcional): calcular \Delta b_{k}=b_{k+1}-b_{k} usando esta forma devolve k^{3} (pode verificar expandindo, como fizemos nas equações anteriores).

Passo 8

Agora aplicar o Teorema Fundamental da Somação. Como escolhemos E=0, temos b_{1}=\dfrac{1}{4}\cdot1^{2}\cdot0^{2}=0. Então, para todo n\ge1,
\sum_{k=1}^{n} k^{3}=\sum_{k=1}^{n} \Delta b_{k}=b_{n+1}-b_{1}=b_{n+1}.
Logo basta calcular b_{n+1}.

Passo 9

Calcular b_{n+1}:
b_{n+1}=\dfrac{1}{4}(n+1)^{2}n^{2}=\dfrac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}.
Isto pode ser reescrito de maneira muito conhecida:
\sum_{k=1}^{n} k^{3}=\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^{2}.
Uma checagem rápida: para n=1 1^{3}=1 e a fórmula dá \left(\dfrac{1\cdot2}{2}\right)^{2}=1, ok; para n=2 soma 1^{3}+2^{3}=1+8=9 e a fórmula dá \left(\dfrac{2\cdot3}{2}\right)^{2}=3^{2}=9, também ok.

Resposta

(a) \displaystyle b_{k}=\dfrac{1}{4}k^{2}(k-1)^{2}.
(b) \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^{3}=\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^{2}.

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