Exercício 1. Considere a sequência \left(a_{k}\right)_{k \geq 1} definida por a_{k}=k^{3}.
(a) Encontre uma sequência \left(b_{k}\right)_{k \geq 1} tal que \Delta b_{k}=a_{k}, ou seja, b_{k}=\Delta^{-1}\left(k^{3}\right).
(b) Use o Teorema Fundamental da Somação para encontrar
(a) Encontrar uma sequência \left(b_{k}\right)_{k\ge 1} tal que \Delta b_{k}=a_{k} para todo k\ge1, onde foi dada a_{k}=k^{3}. Ou seja, achar b_{k} com
\Delta b_{k}=b_{k+1}-b_{k}=k^{3}.
(b) Usar o Teorema Fundamental da Somação para calcular
\sum_{k=1}^{n} k^{3}.
Informações relevantes: a_{k}=k^{3} para todo k\ge1. Não há outras restrições sobre b_{k} além de satisfazer \Delta b_{k}=k^{3} (uma constante aditiva em b_{k} é permitida).
Passo 2
Entendendo o operador \Delta e o Teorema Fundamental da Somação (TFDS), de forma bem didática:
Definição do operador diferença: para uma sequência \left(b_{k}\right),
\Delta b_{k}=b_{k+1}-b_{k}.
Isto é o análogo discreto da derivada/variação; \Delta reduz “grau polinomial” (se b_k é polinomial em k de grau m, então \Delta b_k tem grau m-1).
Teorema Fundamental da Somação (versão telescópica): se \Delta b_{k}=a_{k}, então somando de k=1 até n obtemos
Isto é exatamente o análogo discreto do Teorema Fundamental do Cálculo: a soma das diferenças telescopa.
Passo 3
Estratégia para (a): como a_{k}=k^{3} é um polinómio em k de grau 3, faz muito sentido procurar b_{k} como um polinómio em k de grau 4. Assim assumimos a forma geral
b_{k}=A k^{4}+B k^{3}+C k^{2}+D k+E,
onde A,B,C,D,E são constantes a determinar. (Qualquer constante E funciona para a diferença; podemos escolher E conveniente no final.)
Passo 4
Calcular \Delta b_{k}=b_{k+1}-b_{k} usando a forma polinomial e as expansões simples:
Substituindo na segunda: 6\cdot\dfrac{1}{4}+3B=0 dá \dfrac{3}{2}+3B=0, logo 3B=-\dfrac{3}{2} e B=-\dfrac{1}{2}.
Substituindo A,B na terceira: 4\cdot\dfrac{1}{4}+3\left(-\dfrac{1}{2}\right)+2C=0. Calculando: 1-\dfrac{3}{2}+2C=0 então -\dfrac{1}{2}+2C=0, portanto 2C=\dfrac{1}{2} e C=\dfrac{1}{4}.
Finalmente da quarta: A+B+C+D=0 implica \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+D=0. O somatório \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=0, logo D=0.
A constante E permanece livre (qualquer E funciona). Para simplificar escolhemos E=0 (isso faz b_{1}=0, que é conveniente para aplicar o TFDS).
Verificação rápida (opcional): calcular \Delta b_{k}=b_{k+1}-b_{k} usando esta forma devolve k^{3} (pode verificar expandindo, como fizemos nas equações anteriores).
Passo 8
Agora aplicar o Teorema Fundamental da Somação. Como escolhemos E=0, temos b_{1}=\dfrac{1}{4}\cdot1^{2}\cdot0^{2}=0. Então, para todo n\ge1,
Uma checagem rápida: para n=1 dá 1^{3}=1 e a fórmula dá \left(\dfrac{1\cdot2}{2}\right)^{2}=1, ok; para n=2 soma 1^{3}+2^{3}=1+8=9 e a fórmula dá \left(\dfrac{2\cdot3}{2}\right)^{2}=3^{2}=9, também ok.