A seguinte EDO é por vezes designada como “equação de calor unidimensional”, pois descreve a variação da Temperatura de um corpo, ao longo da direção x :
\begin{aligned} & \frac{d u}{d x}-\alpha^{2} \frac{d^{2} u}{d x^{2}}=0 \\\ & 0 \leq x \leq 1 \end{aligned}
Ou seja, u(x) pode representar a temperatura de uma barra metálica na posição x e no instante t, e é condutividade térmica do metal.
Aplique o método das Diferenças finitas utilizando as aproximações das derivadas de primeira e segunda ordem por diferenças centrais e encontre a equação característica.
1^{a} ordem central \left[\frac{d y}{d x}\right]_{x_{i}} \approx \frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2 h}
2^{a} ordem \left[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right]_{x_{i}} \approx \frac{y_{i+1}-2 y_{i}+y_{i-1}}{h^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
\frac{d u}{d x}-\alpha^{2}\frac{d^{2}u}{d x^{2}}=0, \qquad 0\le x\le 1,
e pede que apliquemos o método de diferenças finitas usando aproximações centrais de primeira e segunda derivadas, e que se encontre a equação característica da discretização.
Informações relevantes que temos:
  • A malha unidimensional tem nós x_i com espaçamento uniforme h, isto é x_{i+1}-x_i=h.
  • Notação discreta: u_i representa a aproximação de u(x_i).
  • As fórmulas de diferenças centrais que foram fornecidas são: \left[\frac{d u}{d x}\right]_{x_i}\approx\frac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2h},
\left[\frac{d^{2} u}{d x^{2}}\right]_{x_i}\approx\frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{h^{2}}.
O que se pede explicitamente: substituir essas aproximações na EDO e obter a equação discreta entre u_{i-1},u_i,u_{i+1} e, a partir dela, escrever a equação característica (polinômio em r associado à recorrência homogênea).

Passo 2

Vou agora substituir as aproximações centrais na equação contínua avaliando em um nó interior x_i. Substituindo:
\frac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2h}-\alpha^{2}\frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{h^{2}}=0.
Explicando passo a passo:
  • A primeira parcela veio de \left.\dfrac{du}{dx}\right|_{x_i}\approx\dfrac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2h}.
  • A segunda parcela veio de \left.\dfrac{d^2u}{dx^2}\right|_{x_i}\approx\dfrac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{h^{2}}, multiplicada por \alpha^{2}.
  • A igualdade a zero mantém-se porque estamos discretizando a equação homogênea dada.

Passo 3

Multiplico a equação por h^{2} para eliminar denominadores (isso facilita a manipulação algébrica):
h^{2}\cdot\frac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2h}-\alpha^{2}\bigl(u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}\bigr)=0.
Simplificando h^{2}/(2h)=h/2, obtenho
\frac{h}{2}\bigl(u_{i+1}-u_{i-1}\bigr)-\alpha^{2}\bigl(u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}\bigr)=0.

Passo 4

Agora eu distribuo os termos e agrupo os coeficientes de u_{i+1}, u_i e u_{i-1}. Desenvolvendo:
\frac{h}{2}u_{i+1}-\frac{h}{2}u_{i-1}-\alpha^{2}u_{i+1}+2\alpha^{2}u_{i}-\alpha^{2}u_{i-1}=0.
Reagrupando por colunas:
\Bigl(\frac{h}{2}-\alpha^{2}\Bigr)u_{i+1}+2\alpha^{2}u_{i}-\Bigl(\frac{h}{2}+\alpha^{2}\Bigr)u_{i-1}=0.
Esta é a equação discreta de recorrência linear de segunda ordem que relaciona três nós consecutivos.

Passo 5

Para obter a equação característica, procuro soluções da forma geométrica
u_i=r^{i},
ou equivalentemente considero a razão r=\dfrac{u_{i+1}}{u_i}. Substituindo u_{i+1}=r u_i e u_{i-1}=r^{-1}u_i na relação discreta e dividindo por u_i (assumindo u_i\neq0), obtemos:
\Bigl(\frac{h}{2}-\alpha^{2}\Bigr)r + 2\alpha^{2} - \Bigl(\frac{h}{2}+\alpha^{2}\Bigr)r^{-1}=0.
Multiplicando por r para ficar com um polinômio em r, chego à forma quadrática:
\Bigl(\frac{h}{2}-\alpha^{2}\Bigr)r^{2} + 2\alpha^{2}r - \Bigl(\frac{h}{2}+\alpha^{2}\Bigr)=0.

Passo 6

Comentário didático sobre essa equação característica:
  • A equação obtida é um polinômio quadrático em r. Suas raízes r_1,r_2 determinam as soluções discretas da forma u_i = C_1 r_1^{\,i} + C_2 r_2^{\,i}.
  • Em termos físicos, se o problema contínuo tem soluções exponenciais u(x)\sim e^{\lambda x}, então na malha uniforme com x_i=i h temos r\approx e^{\lambda h}, e a equação característica discreta aproxima a relação exponencial contínua.
  • Erro de truncamento: as fórmulas centrais usadas são de segunda ordem em h (erro O(h^2)), então a discrétização global tem erro de ordem h^2 na aproximação da EDO.

Resposta

\Bigl(\frac{h}{2}-\alpha^{2}\Bigr)r^{2} + 2\alpha^{2}r - \Bigl(\frac{h}{2}+\alpha^{2}\Bigr)=0

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