A seguinte EDO é por vezes designada como “equação de calor unidimensional”, pois descreve a variação da Temperatura de um corpo, ao longo da direção x :
Ou seja, u(x) pode representar a temperatura de uma barra metálica na posição x e no instante t, e é condutividade térmica do metal.
Aplique o método das Diferenças finitas utilizando as aproximações das derivadas de primeira e segunda ordem por diferenças centrais e encontre a equação característica. 1^{a} ordem central \left[\frac{d y}{d x}\right]_{x_{i}} \approx \frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2 h} 2^{a} ordem \left[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right]_{x_{i}} \approx \frac{y_{i+1}-2 y_{i}+y_{i-1}}{h^{2}}
e pede que apliquemos o método de diferenças finitas usando aproximações centrais de primeira e segunda derivadas, e que se encontre a equação característica da discretização.
Informações relevantes que temos:
A malha unidimensional tem nós x_i com espaçamento uniforme h, isto é x_{i+1}-x_i=h.
Notação discreta: u_i representa a aproximação de u(x_i).
As fórmulas de diferenças centrais que foram fornecidas são:\left[\frac{d u}{d x}\right]_{x_i}\approx\frac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2h},
O que se pede explicitamente: substituir essas aproximações na EDO e obter a equação discreta entre u_{i-1},u_i,u_{i+1} e, a partir dela, escrever a equação característica (polinômio em r associado à recorrência homogênea).
Passo 2
Vou agora substituir as aproximações centrais na equação contínua avaliando em um nó interior x_i. Substituindo:
Esta é a equação discreta de recorrência linear de segunda ordem que relaciona três nós consecutivos.
Passo 5
Para obter a equação característica, procuro soluções da forma geométrica
u_i=r^{i},
ou equivalentemente considero a razão r=\dfrac{u_{i+1}}{u_i}. Substituindo u_{i+1}=r u_i e u_{i-1}=r^{-1}u_i na relação discreta e dividindo por u_i (assumindo u_i\neq0), obtemos:
Comentário didático sobre essa equação característica:
A equação obtida é um polinômio quadrático em r. Suas raízes r_1,r_2 determinam as soluções discretas da forma u_i = C_1 r_1^{\,i} + C_2 r_2^{\,i}.
Em termos físicos, se o problema contínuo tem soluções exponenciais u(x)\sim e^{\lambda x}, então na malha uniforme com x_i=i h temos r\approx e^{\lambda h}, e a equação característica discreta aproxima a relação exponencial contínua.
Erro de truncamento: as fórmulas centrais usadas são de segunda ordem em h (erro O(h^2)), então a discrétização global tem erro de ordem h^2 na aproximação da EDO.